Buktikan dengan induksi matematika bahwa: sigma i=1 n

Terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2+i} = \frac{n}{n+1}\) menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Sisi kiri: \(\sum_{i=1}^{1} \frac{1}{i^2+i} = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\)
Sisi kanan: \(\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\)
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
\(\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2+i} = \frac{k}{k+1}\)

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1, yaitu:
\(\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2+i} = \frac{k+1}{(k+1)+1} = \frac{k+1}{k+2}\)

Kita mulai dari sisi kiri pernyataan untuk n=k+1:
\(\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i^2+i} = \left(\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2+i}\right) + \frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}\)

Berdasarkan hipotesis induksi, kita dapat mengganti \(\sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i^2+i}\) dengan \(\frac{k}{k+1}\):
\(= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)^2+(k+1)}\)

Sekarang, kita sederhanakan suku kedua. Kita bisa memfaktorkan (k+1) dari penyebutnya:
\((k+1)^2+(k+1) = (k+1)(k+1+1) = (k+1)(k+2)\)

Jadi, suku kedua menjadi \(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\).

Sekarang kita punya:
\(= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}\)

Untuk menjumlahkan kedua pecahan ini, kita perlu menyamakan penyebutnya. Penyebut bersama adalah \((k+1)(k+2)\).
\(= \frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}\)

Sekarang kita jumlahkan pembilangnya:
\(= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}\)

Buka kurung pada pembilang:
\(= \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)}\)

Perhatikan bahwa pembilang \(k^2 + 2k + 1\) adalah kuadrat sempurna, yaitu \((k+1)^2\).
\(= \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\)

Kita bisa membatalkan satu faktor \((k+1)\) dari pembilang dan penyebut:
\(= \frac{k+1}{k+2}\)

Ini adalah sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n=k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi) dan jika pernyataan tersebut benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2+i} = \frac{n}{n+1}\) benar untuk semua bilangan bulat positif n.