Buktikan identitas trigonometri 1 + tan^2 theta = sec^2

Terbukti dengan menggunakan definisi tan dan sec serta identitas Pythagoras.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta), kita bisa memulai dari definisi tan(theta) dan sec(theta) dalam bentuk sinus dan kosinus.

Kita tahu bahwa:
tan(theta) = sin(theta) / cos(theta)
sec(theta) = 1 / cos(theta)

Sekarang, mari kita substitusikan definisi tan(theta) ke dalam sisi kiri identitas:
1 + tan^2(theta) = 1 + (sin(theta) / cos(theta))^2
= 1 + sin^2(theta) / cos^2(theta)

Untuk menjumlahkan kedua suku ini, kita perlu menyamakan penyebutnya. Kita ubah 1 menjadi cos^2(theta) / cos^2(theta):
= cos^2(theta) / cos^2(theta) + sin^2(theta) / cos^2(theta)
= (cos^2(theta) + sin^2(theta)) / cos^2(theta)

Kita tahu dari identitas Pythagoras dasar dalam trigonometri bahwa sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1.
Jadi, substitusikan ini ke dalam persamaan:
= 1 / cos^2(theta)

Dan kita tahu bahwa sec(theta) = 1 / cos(theta), sehingga sec^2(theta) = (1 / cos(theta))^2 = 1 / cos^2(theta).
Oleh karena itu:
1 / cos^2(theta) = sec^2(theta)

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa 1 + tan^2(theta) = sec^2(theta).