Buktikan identitas trigonometri berikut.(sin^2 A-sin^2

Terbukti dengan mengubah sisi kiri persamaan menggunakan identitas tan dan sec.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A - \tan^2 B$, kita akan memulai dari sisi kiri dan mengubahnya hingga sama dengan sisi kanan.

Langkah 1: Mulai dari sisi kiri:
$\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\cos^2 A \cos^2 B}$

Langkah 2: Pisahkan pecahan menjadi dua bagian:
$\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A \cos^2 B} - \frac{\sin^2 B}{\cos^2 A \cos^2 B}$

Langkah 3: Kelompokkan suku-suku yang membentuk identitas $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:
$(\frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}) \cdot (\frac{1}{\cos^2 B}) - (\frac{1}{\cos^2 A}) \cdot (\frac{\sin^2 B}{\cos^2 B})$

Langkah 4: Gunakan identitas $\tan^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A}$ dan $\tan^2 B = \frac{\sin^2 B}{\cos^2 B}$. Ingat juga bahwa $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, namun dalam kasus ini, kita bisa langsung menggabungkannya dengan tan.
$(\tan^2 A) \cdot (\sec^2 B) - (\sec^2 A) \cdot (\tan^2 B)$

Langkah 5: Gunakan identitas $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ untuk mengganti $\sec^2 B$ dan $\sec^2 A$.
$(\tan^2 A) \cdot (1 + \tan^2 B) - (1 + \tan^2 A) \cdot (\tan^2 B)$

Langkah 6: Distribusikan suku-sukunya:
$(\tan^2 A + \tan^2 A \tan^2 B) - (\tan^2 B + \tan^2 A \tan^2 B)$

Langkah 7: Sederhanakan persamaan dengan menghilangkan tanda kurung:
$\tan^2 A + \tan^2 A \tan^2 B - \tan^2 B - \tan^2 A \tan^2 B$

Langkah 8: Batalkan suku yang sama:
$\tan^2 A - \tan^2 B$

Karena sisi kiri telah berhasil diubah menjadi sisi kanan, maka identitas trigonometri tersebut terbukti.