Suatu perusahaan memproduksi barang dengan tiga ukuran,

Biaya minimum tercapai jika Mesin I bekerja 30 hari dan Mesin II bekerja 25 hari.

Pembahasan

Masalah ini adalah masalah program linier yang bertujuan untuk meminimalkan biaya operasional dengan mempertimbangkan batasan produksi. Kita perlu menentukan lama hari kerja untuk setiap mesin.

Misalkan:
x = lama hari kerja Mesin I (dalam hari)
y = lama hari kerja Mesin II (dalam hari)

Fungsi tujuan (meminimalkan biaya operasional):
Biaya = 1.200.000x + 900.000y

Kendala produksi:
Ukuran Besar: 1x + 2y ≥ 80
Ukuran Sedang: 3x + 2y ≥ 160
Ukuran Kecil: 5x + 2y ≥ 200

Kendala non-negatif:
x ≥ 0
y ≥ 0

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala dan meminimalkan fungsi biaya. Ini biasanya diselesaikan dengan metode grafik atau metode simpleks. Untuk penyelesaian manual dengan metode grafik:

1. Gambarkan garis dari setiap pertidaksamaan:
   - Garis 1: x + 2y = 80 (titik potong sumbu x: (80,0), sumbu y: (0,40))
   - Garis 2: 3x + 2y = 160 (titik potong sumbu x: (160/3,0)≈(53.3,0), sumbu y: (0,80))
   - Garis 3: 5x + 2y = 200 (titik potong sumbu x: (40,0), sumbu y: (0,100))

2. Tentukan daerah penyelesaian yang memenuhi semua kendala (daerah layak).
3. Cari titik-titik sudut (vertex) dari daerah layak.
4. Substitusikan koordinat titik-titik sudut ke dalam fungsi tujuan untuk mencari nilai minimum.

Titik potong antara garis-garis tersebut akan menjadi titik-titik sudut potensial:

- Titik potong Garis 1 dan Garis 2:
  x + 2y = 80  => 2y = 80 - x
  3x + (80 - x) = 160
  2x + 80 = 160
  2x = 80
  x = 40
  2y = 80 - 40 = 40 => y = 20
  Titik (40, 20)

- Titik potong Garis 1 dan Garis 3:
  x + 2y = 80  => 2y = 80 - x
  5x + (80 - x) = 200
  4x + 80 = 200
  4x = 120
  x = 30
  2y = 80 - 30 = 50 => y = 25
  Titik (30, 25)

- Titik potong Garis 2 dan Garis 3:
  3x + 2y = 160
  5x + 2y = 200
  Kurangkan persamaan pertama dari kedua:
  2x = 40
  x = 20
  3(20) + 2y = 160
  60 + 2y = 160
  2y = 100
  y = 50
  Titik (20, 50)

Titik-titik sudut yang relevan (mempertimbangkan x≥0, y≥0 dan kendala lain) adalah titik potong yang memenuhi semua kondisi. Kita juga perlu mempertimbangkan titik potong sumbu dari garis yang membentuk batas daerah layak. Dalam kasus ini, karena semua koefisien positif dan kita mencari minimum, titik potong antara kendala akan lebih relevan.

Mari evaluasi biaya di titik-titik sudut yang ditemukan:
- Titik (40, 20):
  Biaya = 1.200.000(40) + 900.000(20) = 48.000.000 + 18.000.000 = 66.000.000
- Titik (30, 25):
  Biaya = 1.200.000(30) + 900.000(25) = 36.000.000 + 22.500.000 = 58.500.000
- Titik (20, 50):
  Biaya = 1.200.000(20) + 900.000(50) = 24.000.000 + 45.000.000 = 69.000.000

Nilai minimum biaya operasional adalah Rp58.500.000,00 yang dicapai ketika Mesin I beroperasi selama 30 hari dan Mesin II beroperasi selama 25 hari.

Jadi, lama kerja setiap mesin agar diperoleh biaya operasional minimum adalah Mesin I selama 30 hari dan Mesin II selama 25 hari.