Buktikan masing-masing identitas berikut. sin^2 theta-cos^2

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kanan menggunakan definisi $\cotan \theta$ dan identitas $1 + \cotan^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta$, lalu menyederhanakannya menjadi $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta$.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \frac{1 - \cotan^2 \theta}{1 + \cotan^2 \theta}$, kita akan mulai dari salah satu sisi dan mengubahnya hingga sama dengan sisi lainnya.

Mari kita ubah sisi kanan:
$\frac{1 - \cotan^2 \theta}{1 + \cotan^2 \theta}$
Kita tahu bahwa $\cotan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ dan $1 + \cotan^2 \theta = \operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta}$.

Substitusikan $\cotan^2 \theta$:
$\frac{1 - (\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta})}{1 + (\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta})}$

Samakan penyebut di pembilang dan penyebut:
$\frac{\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}}{\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}}$

Kita tahu bahwa $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ (identitas Pythagoras).
$\frac{\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}}$

Kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
$\frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \times \frac{\sin^2 \theta}{1}$

Hasilnya adalah:
$\sin^2 \theta - \cos^2 \theta$

Ini sama dengan sisi kiri identitas. Jadi, identitas tersebut terbukti benar.