Buktikan setiap pernyataan matematis berupa ketidaksamaan

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan 2n+1 < 2^n untuk semua bilangan asli n 
≥ 3 menggunakan induksi matematika, kita akan melalui dua langkah:
1. Basis Induksi: Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=3.
   Untuk n=3: 2(3)+1 = 7 dan 2^3 = 8. Karena 7 < 8, maka pernyataan tersebut benar untuk n=3.
2. Langkah Induksi: Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k 
≥ 3, yaitu 2k+1 < 2^k (Hipotesis Induksi). Kemudian, tunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1, yaitu 2(k+1)+1 < 2^(k+1).
   Mulai dari sisi kiri ketidaksamaan untuk n=k+1:
   2(k+1)+1 = 2k+2+1 = (2k+1)+2
   Berdasarkan Hipotesis Induksi (2k+1 < 2^k), kita dapat mengganti 2k+1 dengan 2^k:
   (2k+1)+2 < 2^k + 2
   Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 2^k + 2 < 2^(k+1).
   2^(k+1) = 2 * 2^k = 2^k + 2^k.
   Kita perlu membandingkan 2^k + 2 dengan 2^k + 2^k.
   Karena k 
≥ 3, maka 2^k 
≥ 2^3 = 8.
   Jadi, 2^k 
≥ 8.
   Ini berarti 2^k > 2.
   Oleh karena itu, 2^k + 2 < 2^k + 2^k = 2^(k+1).
   Sehingga, kita telah menunjukkan bahwa 2(k+1)+1 < 2^(k+1).

Kesimpulan: Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan 2n+1 < 2^n benar untuk semua bilangan asli n 
≥ 3.

Jawaban Ringkas: Pernyataan terbukti benar untuk n=3 (7<8). Dengan asumsi benar untuk n=k (2k+1 < 2^k), dibuktikan benar untuk n=k+1 (2(k+1)+1 < 2^(k+1)) karena 2^k+2 < 2^k+2^k untuk k>=3.