Buktikanlah! |u + v|^2 + |u - v|^2 = 2 |u|^2 + 2 | v |^2

Identitas terbukti dengan menggunakan sifat hasil kali titik.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas $|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2 |u|^2 + 2 |v|^2$, kita akan menggunakan definisi hasil kali titik (dot product) dan sifat-sifatnya.

Ingat bahwa untuk vektor $u$, $|u|^2 = u ullet u$.

Maka, kita bisa ekspansi sisi kiri persamaan:

1. $|u + v|^2 = (u + v) ullet (u + v)$
   Menggunakan sifat distributif hasil kali titik:
   $= u ullet u + u ullet v + v ullet u + v ullet v$
   Karena $u ullet v = v ullet u$ (sifat komutatif) dan $u ullet u = |u|^2$, $v ullet v = |v|^2$:
   $= |u|^2 + 2(u ullet v) + |v|^2$

2. $|u - v|^2 = (u - v) ullet (u - v)$
   Menggunakan sifat distributif hasil kali titik:
   $= u ullet u - u ullet v - v ullet u + v ullet v$
   Karena $u ullet v = v ullet u$ dan $u ullet u = |u|^2$, $v ullet v = |v|^2$:
   $= |u|^2 - 2(u ullet v) + |v|^2$

Sekarang, kita jumlahkan kedua hasil ekspansi tersebut:
$|u + v|^2 + |u - v|^2 = (|u|^2 + 2(u ullet v) + |v|^2) + (|u|^2 - 2(u ullet v) + |v|^2)$

Kelompokkan suku-suku yang serupa:
$= |u|^2 + |u|^2 + |v|^2 + |v|^2 + 2(u ullet v) - 2(u ullet v)$

Sederhanakan:
$= 2|u|^2 + 2|v|^2 + 0$

$= 2|u|^2 + 2|v|^2$

Ini sama dengan sisi kanan persamaan. Oleh karena itu, identitas $|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2 |u|^2 + 2 |v|^2$ telah terbukti.