Carilah hasil dari integral t^3 sin t dt.

$-t^3 \cos t + 3t^2 \sin t + 6t \cos t - 6 \sin t + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int t^3 \sin t dt$, kita akan menggunakan metode integrasi parsial. Rumus integrasi parsial adalah $\int u dv = uv - \int v du$.

Pilihan u dan dv:
Misalkan $u = t^3$ dan $dv = \sin t dt$.
Maka, $du = 3t^2 dt$ dan $v = \int \sin t dt = -\cos t$.

Menerapkan rumus integrasi parsial:
$\int t^3 \sin t dt = t^3(-\cos t) - \int (-\cos t)(3t^2 dt)$
$= -t^3 \cos t + 3 \int t^2 \cos t dt$

Sekarang kita perlu menyelesaikan integral $\int t^2 \cos t dt$. Kita gunakan integrasi parsial lagi.
Misalkan $u = t^2$ dan $dv = \cos t dt$.
Maka, $du = 2t dt$ dan $v = \int \cos t dt = \sin t$.

Menerapkan rumus:
$\int t^2 \cos t dt = t^2 \sin t - \int \sin t (2t dt)$
$= t^2 \sin t - 2 \int t \sin t dt$

Sekarang kita perlu menyelesaikan integral $\int t \sin t dt$. Gunakan integrasi parsial sekali lagi.
Misalkan $u = t$ dan $dv = \sin t dt$.
Maka, $du = dt$ dan $v = \int \sin t dt = -\cos t$.

Menerapkan rumus:
$\int t \sin t dt = t(-\cos t) - \int (-\cos t) dt$
$= -t \cos t + \int \cos t dt$
$= -t \cos t + \sin t$

Sekarang substitusikan kembali hasil integral $\int t \sin t dt$ ke dalam integral $\int t^2 \cos t dt$:
$\int t^2 \cos t dt = t^2 \sin t - 2 (-t \cos t + \sin t)$
$= t^2 \sin t + 2t \cos t - 2 \sin t$

Terakhir, substitusikan hasil integral $\int t^2 \cos t dt$ ke dalam integral awal:
$\int t^3 \sin t dt = -t^3 \cos t + 3 (t^2 \sin t + 2t \cos t - 2 \sin t) + C$
$= -t^3 \cos t + 3t^2 \sin t + 6t \cos t - 6 \sin t + C$

Jadi, hasil dari integral $t^3 \sin t dt$ adalah $-t^3 \cos t + 3t^2 \sin t + 6t \cos t - 6 \sin t + C$.