Carilah nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y)=2x+5y dengan

Nilai maksimum fungsi tujuan adalah 38.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi tujuan f(x,y) = 2x + 5y dengan syarat yang diberikan, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. 
1. 2x + y ≤ 20
2. x + 2y ≤ 16
3. x - 2y ≥ -8
4. x ≥ 0
5. y ≥ 0

Kita cari titik potong dari garis-garis yang berbatasan:
- Titik potong 2x + y = 20 dan x + 2y = 16:
  Kalikan persamaan pertama dengan 2: 4x + 2y = 40. Kurangkan dengan persamaan kedua: (4x + 2y) - (x + 2y) = 40 - 16 => 3x = 24 => x = 8. Substitusikan x=8 ke persamaan x+2y=16: 8 + 2y = 16 => 2y = 8 => y = 4. Titik potong (8, 4).
- Titik potong 2x + y = 20 dan x - 2y = -8:
  Kalikan persamaan pertama dengan 2: 4x + 2y = 40. Jumlahkan dengan persamaan kedua: (4x + 2y) + (x - 2y) = 40 + (-8) => 5x = 32 => x = 6,4. Substitusikan x=6,4 ke persamaan 2x+y=20: 2(6,4) + y = 20 => 12,8 + y = 20 => y = 7,2. Titik potong (6.4, 7.2).
- Titik potong x + 2y = 16 dan x - 2y = -8:
  Jumlahkan kedua persamaan: (x + 2y) + (x - 2y) = 16 + (-8) => 2x = 8 => x = 4. Substitusikan x=4 ke persamaan x+2y=16: 4 + 2y = 16 => 2y = 12 => y = 6. Titik potong (4, 6).
- Titik potong sumbu x (y=0) dengan 2x + y = 20: 2x = 20 => x = 10. Titik (10, 0).
- Titik potong sumbu y (x=0) dengan x + 2y = 16: 2y = 16 => y = 8. Titik (0, 8).
- Titik potong sumbu x (y=0) dengan x - 2y = -8: x = -8. Titik (-8, 0) - tidak valid karena x>=0.
- Titik potong sumbu y (x=0) dengan 2x + y = 20: y = 20. Titik (0, 20).
- Titik potong sumbu y (x=0) dengan x - 2y = -8: -2y = -8 => y = 4. Titik (0, 4).

Titik-titik pojok yang memenuhi adalah (0,0), (8,4), (6.4, 7.2), (0,8) dan (4,6) . Periksa kembali daerah yang memenuhi:
- (0,0): 2(0)+0 <= 20 (Benar), 0+2(0)<=16 (Benar), 0-2(0)>=-8 (Benar), 0>=0 (Benar), 0>=0 (Benar).
- (8,4): 2(8)+4=20 <= 20 (Benar), 8+2(4)=16 <= 16 (Benar), 8-2(4)=0 >= -8 (Benar), 8>=0 (Benar), 4>=0 (Benar).
- (6.4, 7.2): 2(6.4)+7.2=12.8+7.2=20 <= 20 (Benar), 6.4+2(7.2)=6.4+14.4=20.8 > 16 (Salah). Titik (6.4, 7.2) tidak termasuk.
- (4,6): 2(4)+6=8+6=14 <= 20 (Benar), 4+2(6)=4+12=16 <= 16 (Benar), 4-2(6)=4-12=-8 >= -8 (Benar), 4>=0 (Benar), 6>=0 (Benar).
- (0,8): 2(0)+8=8 <= 20 (Benar), 0+2(8)=16 <= 16 (Benar), 0-2(8)=-16 < -8 (Salah). Titik (0,8) tidak termasuk.

Perlu dicek kembali titik potong dengan batas x-2y=-8:
- Titik potong 2x+y=20 dan x-2y=-8 (sudah dihitung di atas, (6.4, 7.2) - tidak memenuhi syarat kedua)
- Titik potong x+2y=16 dan x-2y=-8 (sudah dihitung di atas, (4,6) - memenuhi semua syarat)
- Titik potong sumbu y (x=0) dengan x-2y=-8 adalah (0,4). Cek (0,4): 2(0)+4=4<=20 (Benar), 0+2(4)=8<=16 (Benar), 0-2(4)=-8>=-8 (Benar), 0>=0 (Benar), 4>=0 (Benar). Titik (0,4) termasuk.

Titik-titik pojok yang valid adalah (0,0), (8,4), (4,6), dan (0,4).

Sekarang kita substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan f(x,y) = 2x + 5y:
- f(0,0) = 2(0) + 5(0) = 0
- f(8,4) = 2(8) + 5(4) = 16 + 20 = 36
- f(4,6) = 2(4) + 5(6) = 8 + 30 = 38
- f(0,4) = 2(0) + 5(4) = 0 + 20 = 20

Nilai maksimum fungsi tujuan adalah 38.