carilah rumus Un dari barisan 0,2,6,12,20, ...

Un = n^2 - n

Pembahasan

Untuk mencari rumus Un dari barisan 0, 2, 6, 12, 20, ..., kita perlu mengamati pola selisih antara suku-suku yang berdekatan.

Selisih:
2 - 0 = 2
6 - 2 = 4
12 - 6 = 6
20 - 12 = 8

Perhatikan bahwa selisih ini membentuk barisan aritmetika dengan beda 2 (2, 4, 6, 8, ...).
Ini menunjukkan bahwa barisan asli adalah barisan kuadratik, yang memiliki rumus umum Un = An^2 + Bn + C.

Kita bisa menggunakan beberapa suku pertama untuk mencari nilai A, B, dan C:
Untuk n=1: U1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 0
Untuk n=2: U2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 2
Untuk n=3: U3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 6

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear tersebut:
(2) - (1): (4A + 2B + C) - (A + B + C) = 2 - 0  => 3A + B = 2  (Persamaan 4)
(3) - (2): (9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 6 - 2  => 5A + B = 4  (Persamaan 5)

Sekarang kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5:
(5A + B) - (3A + B) = 4 - 2  => 2A = 2  => A = 1

Substitusikan A = 1 ke Persamaan 4:
3(1) + B = 2  => 3 + B = 2  => B = -1

Substitusikan A = 1 dan B = -1 ke Persamaan 1:
1 + (-1) + C = 0  => 0 + C = 0  => C = 0

Jadi, rumus Un adalah Un = 1*n^2 + (-1)*n + 0 = n^2 - n.

Mari kita cek:
U1 = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0
U2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2
U3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6
U4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12
U5 = 5^2 - 5 = 25 - 5 = 20

Rumus Un = n^2 - n atau Un = n(n-1).