Carilah titik yang belum diketahui pada bangun-bangun

Koordinat titik yang belum diketahui adalah: C(5, 2) untuk jajargenjang, Q(6, 2) untuk persegi panjang, L(9, -1) untuk trapesium sama kaki, dan T(-1, 2) untuk belah ketupat.

Pembahasan

Untuk menemukan titik yang belum diketahui pada bangun-bangun datar yang diberikan, kita akan menggunakan sifat-sifat geometris dari setiap bangun tersebut.

1.  **Jajargenjang A(-2, -3), B(4, -3), C(... ,...), D(-1, 2)**
    Dalam jajargenjang, sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Vektor $\vec{AD}$ harus sama dengan vektor $\vec{BC}$.
    $\\vec{AD} = D - A = (-1 - (-2), 2 - (-3)) = (1, 5)$
    $\\vec{BC} = C - B = (Cx - 4, Cy - (-3)) = (Cx - 4, Cy + 3)$
    Karena $\\vec{AD} = \\vec{BC}$, maka:
    $Cx - 4 = 1 \implies Cx = 5$
    $Cy + 3 = 5 \implies Cy = 2$
    Jadi, koordinat titik C adalah (5, 2).

2.  **Persegi panjang P(-3, 2), Q(...,...), R(6, -2), S(-3, -2)**
    Dalam persegi panjang, sisi yang berhadapan sejajar dan tegak lurus terhadap sisi yang berdekatan. Vektor $\vec{PS}$ harus tegak lurus dengan vektor $\vec{PQ}$. Juga, $\\vec{PQ} = \\vec{SR}$.
    $\\vec{PS} = S - P = (-3 - (-3), -2 - 2) = (0, -4)$
    $\\vec{SR} = R - S = (6 - (-3), -2 - (-2)) = (9, 0)$
    Karena $\\vec{PQ} = \\vec{SR}$, maka:
    $Qx - Px = 9 
    Qx - (-3) = 9 
    Qx + 3 = 9 
    Qx = 6$
    $Qy - Py = 0 
    Qy - 2 = 0 
    Qy = 2$
    Jadi, koordinat titik Q adalah (6, 2).

3.  **Trapesium sama kaki K(2, -1), L(...,...) M(7, -5), N(4, -5)**
    Dalam trapesium sama kaki, sisi non-sejajar memiliki panjang yang sama. Sisi MN sejajar dengan KL karena koordinat y mereka berbeda sementara koordinat x tidak sama, menunjukkan kemiringan yang berbeda. Atau kita bisa lihat jika sisi MN sejajar sumbu x karena y sama. Maka KL juga harus sejajar sumbu x.
    Karena MN sejajar sumbu x, maka KL juga harus sejajar sumbu x, yang berarti nilai y untuk K dan L harus sama. Namun, ini kontradiksi dengan soal karena jika KL sejajar MN, maka K dan L harus memiliki nilai y yang sama. Mari kita asumsikan MN adalah alas yang sejajar sumbu x.
    Jika MN sejajar sumbu x, maka K dan L harus memiliki y yang sama agar KL sejajar MN. Ini tidak mungkin jika K(2,-1) dan L(...,...) dan M(7,-5) N(4,-5).
    Asumsi yang lebih mungkin adalah MN adalah alas bawah dan KL adalah alas atas.
    Jarak horizontal antara N dan M adalah $7 - 4 = 3$. Karena ini trapesium sama kaki, maka jarak horizontal dari K ke proyeksi vertikalnya pada garis yang sama dengan M dan N harus berjarak sama dari N, dan jarak horizontal dari L ke proyeksi vertikalnya harus berjarak sama dari M.
    Misalkan K = (2, -1). Garis yang melalui N dan M adalah $y = -5$. Jarak vertikal antara KL dan MN adalah $|-1 - (-5)| = 4$.
    Jika kita mengasumsikan KL sejajar MN (yaitu, sejajar sumbu x), maka y-koordinat L harus sama dengan y-koordinat K, yaitu -1. Jadi L = (Lx, -1).
    Namun, jika KL sejajar MN, maka jarak horizontal antara K dan L harus sama dengan jarak horizontal antara N dan M jika itu adalah jajargenjang. Ini bukan.
    Mari kita gunakan sifat simetri pada trapesium sama kaki. Sumbu simetri akan membagi trapesium menjadi dua bagian yang sama. Titik tengah segmen MN adalah $((4+7)/2, (-5-5)/2) = (5.5, -5)$.
    Karena K=(2,-1), jarak horizontal dari K ke sumbu simetri adalah $5.5 - 2 = 3.5$. Titik L harus memiliki jarak horizontal yang sama dari sumbu simetri di sisi lain, yaitu $5.5 + 3.5 = 9$. Karena L berada pada ketinggian yang sama dengan K, maka koordinat y L adalah -1.
    Jadi, koordinat titik L adalah (9, -1).

4.  **Belah ketupat T(...,...) U(3, -1), V(7, 2), W(3, 5)**
    Dalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya saling tegak lurus dan berpotongan di tengah. Diagonal-diagonalnya adalah TW dan UV.
    Titik tengah diagonal UV adalah $((3+7)/2, (-1+2)/2) = (10/2, 1/2) = (5, 0.5)$.
    Titik tengah diagonal TW harus sama dengan titik tengah UV. Jadi, titik tengah TW adalah (5, 0.5).
    $\\vec{TU} = U - T = (3 - Tx, -1 - Ty)$
    $\\vec{TW} = W - T = (3 - Tx, 5 - Ty)$
    Diagonal UV memiliki gradien $m_{UV} = (2 - (-1)) / (7 - 3) = 3 / 4$.
    Diagonal TW harus tegak lurus dengan UV, sehingga gradien TW adalah $m_{TW} = -1 / m_{UV} = -4/3$.
    Gradien TW juga dapat dihitung sebagai $(Ty - Wy) / (Tx - Wx) = (Ty - 5) / (Tx - 3)$.
    $\\frac{Ty - 5}{Tx - 3} = -4/3$
    $3(Ty - 5) = -4(Tx - 3)$
    $3Ty - 15 = -4Tx + 12$
    $4Tx + 3Ty = 27$ (Persamaan 1)
    Titik tengah TW adalah $((Tx + Wx)/2, (Ty + Wy)/2) = (5, 0.5)$.
    $(Tx + 3)/2 = 5 
    Tx + 3 = 10 
    Tx = 7$
    $(Ty + 5)/2 = 0.5 
    Ty + 5 = 1 
    Ty = -4$
    Mari kita cek apakah $(Tx, Ty) = (7, -4)$ memenuhi Persamaan 1:
    $4(7) + 3(-4) = 28 - 12 = 16$. Ini tidak sama dengan 27. Ada kesalahan dalam asumsi atau perhitungan.

    Mari kita gunakan sifat belah ketupat lainnya: keempat sisinya sama panjang.
    $UV = \\sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = \\sqrt{25} = 5$
    Panjang sisi adalah 5.
    $TU^2 = (3-Tx)^2 + (-1-Ty)^2 = 25$
    $TW^2 = (3-Tx)^2 + (5-Ty)^2 = 25$
    Dari kedua persamaan ini, kita dapatkan:
    $(-1-Ty)^2 = (5-Ty)^2$
    $1 + 2Ty + Ty^2 = 25 - 10Ty + Ty^2$
    $1 + 2Ty = 25 - 10Ty$
    $12Ty = 24$
    $Ty = 2$

    Sekarang substitusikan $Ty=2$ ke salah satu persamaan:
    $(3-Tx)^2 + (-1-2)^2 = 25$
    $(3-Tx)^2 + (-3)^2 = 25$
    $(3-Tx)^2 + 9 = 25$
    $(3-Tx)^2 = 16$
    $3-Tx = 4$ atau $3-Tx = -4$
    $Tx = -1$ atau $Tx = 7$

    Jika $Tx = -1$ dan $Ty = 2$, maka T = (-1, 2).
    Mari kita cek apakah titik ini membentuk belah ketupat dengan U, V, W.
    U=(3, -1), V=(7, 2), W=(3, 5), T=(-1, 2)
    Sisi TU: $\\sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    Sisi UV: $\\sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    Sisi VW: $\\sqrt{(3-7)^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    Sisi WT: $\\sqrt{(-1-3)^2 + (2-5)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    Semua sisi sama panjang (5). Mari cek diagonal.
    Diagonal TW: $\\sqrt{(3-(-1))^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$. Ini salah, diagonal harus lebih panjang.
    Diagonal UV: $\\sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

    Ada kesalahan dalam soal atau pemahaman. Mari kita periksa kembali asumsi titik tengah diagonal.
    U(3, -1), V(7, 2), W(3, 5). T(Tx, Ty).
    Titik tengah UV = (5, 0.5).
    Titik tengah UW = $((3+3)/2, (-1+5)/2) = (3, 2)$.
    Titik tengah VW = $((7+3)/2, (2+5)/2) = (5, 3.5)$.

    Jika T adalah titik yang hilang, maka UV dan TW adalah diagonal, atau UW dan TV adalah diagonal, atau UV dan WT adalah diagonal.
    Dalam belah ketupat, diagonal berpotongan di tengah. Jika UV dan TW adalah diagonal, titik tengahnya harus sama.
    Titik tengah UV = (5, 0.5).
    Titik tengah TW = $((Tx+3)/2, (Ty+5)/2)$.
    $(Tx+3)/2 = 5 
    Tx+3 = 10 
    Tx = 7$
    $(Ty+5)/2 = 0.5 
    Ty+5 = 1 
    Ty = -4$
    Jadi T = (7, -4).
    Sekarang cek sisi:
    U=(3, -1), V=(7, 2), W=(3, 5), T=(7, -4).
    TU: $\\sqrt{(3-7)^2 + (-1-(-4))^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    UV: $\\sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    VW: $\\sqrt{(3-7)^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    WT: $\\sqrt{(7-3)^2 + (-4-5)^2} = \\sqrt{4^2 + (-9)^2} = \\sqrt{16+81} = \\sqrt{97}$. Sisi tidak sama.

    Asumsi lain: UW dan TV adalah diagonal.
    Titik tengah UW = (3, 2).
    Titik tengah TV = $((Tx+7)/2, (Ty+2)/2)$.
    $(Tx+7)/2 = 3 
    Tx+7 = 6 
    Tx = -1$
    $(Ty+2)/2 = 2 
    Ty+2 = 4 
    Ty = 2$
    Jadi T = (-1, 2).
    Sekarang cek sisi:
    U=(3, -1), V=(7, 2), W=(3, 5), T=(-1, 2).
    TU: $\\sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    UV: $\\sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    VW: $\\sqrt{(3-7)^2 + (5-2)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    WT: $\\sqrt{(-1-3)^2 + (2-5)^2} = \\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \\sqrt{16+9} = 5$
    Semua sisi sama panjang. Ini adalah belah ketupat.
    Jadi, koordinat titik T adalah (-1, 2).