Daerah yang diarsir berikut adalah daerah penyelesaian

Sistem pertidaksamaan: 2x + y ≥ 4, x + y ≤ 5, x ≥ 0, y ≥ 0. Nilai minimum f = 200.

Pembahasan

(i) Menentukan sistem pertidaksamaan linear dari gambar:
Dari gambar, kita bisa melihat dua garis.
Garis pertama melewati titik (2, 0) dan (0, 4).
Persamaan garis: (x/2) + (y/4) = 1. Kalikan dengan 4: 2x + y = 4.
Karena daerah penyelesaian berada di bawah atau pada garis ini, pertidaksamaannya adalah 2x + y ≤ 4.

Garis kedua melewati titik (5, 0) dan (0, 5).
Persamaan garis: (x/5) + (y/5) = 1. Kalikan dengan 5: x + y = 5.
Karena daerah penyelesaian berada di atas atau pada garis ini, pertidaksamaannya adalah x + y ≥ 5.

Selain itu, karena daerah penyelesaian berada di kuadran pertama (nilai x dan y tidak negatif), kita memiliki kendala:
x ≥ 0
y ≥ 0

Namun, dari gambar terlihat bahwa daerah penyelesaian dibatasi oleh garis x + y = 5 dan 2x + y = 4, serta sumbu y (x=0) dan sumbu x (y=0). Tetapi dari bentuk daerah yang diarsir, terlihat bahwa batasan yang relevan adalah:

Garis 1 (melalui (2,0) dan (0,4)): 2x + y = 4. Daerah diarsir di atas garis ini, sehingga 2x + y ≥ 4.
Garis 2 (melalui (5,0) dan (0,5)): x + y = 5. Daerah diarsir di bawah garis ini, sehingga x + y ≤ 5.

Juga ada batasan x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Jadi, sistem pertidaksamaan linear adalah:
2x + y ≥ 4
x + y ≤ 5
x ≥ 0
y ≥ 0

(ii) Menentukan nilai minimum fungsi objektif f = 100x + 125y menggunakan metode uji titik sudut:
Titik sudut daerah penyelesaian adalah perpotongan garis-garis batasan.

Titik A: Perpotongan x = 0 dan 2x + y = 4 => 2(0) + y = 4 => y = 4. Titik A = (0, 4).
Titik B: Perpotongan x = 0 dan x + y = 5 => 0 + y = 5 => y = 5. Titik B = (0, 5).
Titik C: Perpotongan 2x + y = 4 dan x + y = 5.
   Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama:
   (x + y) - (2x + y) = 5 - 4
   -x = 1
   x = -1. Ini tidak mungkin karena x ≥ 0.

Mari kita periksa kembali gambar dan interpretasi batasannya.
Jika titik (0,0) diuji pada 2x + y ≥ 4, maka 0 ≥ 4 (salah), artinya daerah di atas garis.
Jika titik (0,0) diuji pada x + y ≤ 5, maka 0 ≤ 5 (benar), artinya daerah di bawah garis.

Titik sudut yang terlihat pada gambar adalah:
1. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan garis x+y=5. Ini adalah (0,5).
2. Perpotongan sumbu y (x=0) dengan garis 2x+y=4. Ini adalah (0,4).
3. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan garis x+y=5. Ini adalah (5,0).
4. Perpotongan sumbu x (y=0) dengan garis 2x+y=4. Ini adalah (2,0).
5. Perpotongan garis 2x+y=4 dan x+y=5.
   Dari x+y=5, kita punya y=5-x.
   Substitusikan ke 2x+y=4:
   2x + (5-x) = 4
   x + 5 = 4
   x = -1. Ini masih menghasilkan x negatif, yang berarti titik potong ini tidak berada di daerah yang relevan jika x ≥ 0.

Mari kita asumsikan titik sudut yang benar adalah:
Titik sudut 1: Perpotongan y-axis (x=0) dan 2x+y=4. Titik (0,4).
Titik sudut 2: Perpotongan y-axis (x=0) dan x+y=5. Titik (0,5).
Titik sudut 3: Perpotongan x-axis (y=0) dan x+y=5. Titik (5,0).
Titik sudut 4: Perpotongan x-axis (y=0) dan 2x+y=4. Titik (2,0).

Kita perlu mencari titik potong antara 2x+y=4 dan x+y=5. Jika kita melihat gambarnya, daerah yang diarsir diapit oleh kedua garis ini dan sumbu y. Perpotongan dengan sumbu x tidak membentuk daerah penyelesaian yang tertutup.

Titik potong 2x+y=4 dan x+y=5:
Kurangkan (2x+y=4) dengan (x+y=5):
(2x+y) - (x+y) = 4 - 5
x = -1. Ini tidak mungkin.

Mari kita cek kembali interpretasi gambar.
Jika daerah diarsir adalah segitiga dengan titik sudut (2,0), (5,0), dan titik potong antara 2x+y=4 dan x+y=5. Namun, titik potongnya di x=-1.

Asumsikan ada kesalahan dalam interpretasi atau soalnya. Jika kita melihat bentuknya, titik sudut yang mungkin adalah perpotongan dari:
1. x=0 dan 2x+y=4  => (0,4)
2. x=0 dan x+y=5   => (0,5)
3. Perpotongan 2x+y=4 dan x+y=5. (Ini di x=-1)

Revisi asumsi batasan berdasarkan gambar:
Daerah dibatasi oleh:
x ≥ 0
y ≥ 0
Garis 1: 2x + y = 4 (y-intercept 4, x-intercept 2). Daerah di atas garis ini => 2x + y ≥ 4.
Garis 2: x + y = 5 (y-intercept 5, x-intercept 5). Daerah di bawah garis ini => x + y ≤ 5.

Titik sudut yang relevan adalah:
1. Perpotongan x=0 dan 2x+y=4 => (0,4)
2. Perpotongan x=0 dan x+y=5 => (0,5)
3. Perpotongan y=0 dan x+y=5 => (5,0)
4. Perpotongan y=0 dan 2x+y=4 => (2,0)

Namun, daerah penyelesaian yang dibentuk oleh kendala 2x+y ≥ 4 dan x+y ≤ 5, serta x ≥ 0, y ≥ 0 adalah daerah yang dibatasi oleh:
- Sumbu y dari y=4 hingga y=5 (yaitu titik (0,4) dan (0,5)).
- Garis x+y=5 dari (0,5) hingga (5,0).
- Sumbu x dari x=2 hingga x=5 (yaitu titik (2,0) dan (5,0)).
- Garis 2x+y=4 dari (0,4) ke (2,0).

Jadi titik sudutnya adalah:
- A: (0, 4)
- B: (0, 5)
- C: (5, 0)
- D: (2, 0)

Sekarang kita uji fungsi objektif f = 100x + 125y pada titik-titik sudut ini:
- Di A (0, 4): f = 100(0) + 125(4) = 0 + 500 = 500.
- Di B (0, 5): f = 100(0) + 125(5) = 0 + 625 = 625.
- Di C (5, 0): f = 100(5) + 125(0) = 500 + 0 = 500.
- Di D (2, 0): f = 100(2) + 125(0) = 200 + 0 = 200.

Nilai minimum dari fungsi objektif f = 100x + 125y adalah 200, yang dicapai pada titik sudut (2, 0).