Dalam kubus ABCD.EFGH. Jika theta adalah sudut antara

1/3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cosinus sudut antara bidang AHF dan CHF dalam kubus ABCD.EFGH, kita dapat menggunakan vektor atau proyeksi.

Misalkan panjang sisi kubus adalah 's'. Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius.

A = (0, 0, 0)
B = (s, 0, 0)
C = (s, s, 0)
D = (0, s, 0)
E = (0, 0, s)
F = (s, 0, s)
G = (s, s, s)
H = (0, s, s)

Bidang AHF dibentuk oleh vektor AH dan AF.
AH = H - A = (0, s, s)
AF = F - A = (s, 0, s)

Bidang CHF dibentuk oleh vektor CH dan CF.
CH = H - C = (0, s, s) - (s, s, 0) = (-s, 0, s)
CF = F - C = (s, 0, s) - (s, s, 0) = (0, -s, s)

Kita perlu mencari vektor normal untuk kedua bidang tersebut.

Vektor normal bidang AHF (N_AHF) = AH x AF
N_AHF =  | i   j   k  |
         | 0   s   s  |
         | s   0   s  |
       = i(s*s - s*0) - j(0*s - s*s) + k(0*0 - s*s)
       = i(s^2) - j(-s^2) + k(-s^2)
       = (s^2, s^2, -s^2)
       Kita bisa sederhanakan menjadi (1, 1, -1) dengan membagi s^2.

Vektor normal bidang CHF (N_CHF) = CH x CF
N_CHF =  | i   j   k  |
         | -s  0   s  |
         | 0  -s   s  |
       = i(0*s - s*(-s)) - j((-s)*s - s*0) + k((-s)*(-s) - 0*0)
       = i(s^2) - j(-s^2) + k(s^2)
       = (s^2, s^2, s^2)
       Kita bisa sederhanakan menjadi (1, 1, 1) dengan membagi s^2.

Sekarang, kita cari kosinus sudut antara dua vektor normal ini menggunakan rumus dot product:
N_AHF . N_CHF = |N_AHF| |N_CHF| cos(theta)

N_AHF . N_CHF = (1 * 1) + (1 * 1) + (-1 * 1) = 1 + 1 - 1 = 1

|N_AHF| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)
|N_CHF| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)

cos(theta) = (N_AHF . N_CHF) / (|N_AHF| |N_CHF|)
cos(theta) = 1 / (sqrt(3) * sqrt(3))
cos(theta) = 1 / 3

Jadi, cos theta = 1/3.