Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=-x^2+4x+5 , sumbu X

24

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = -x^2 + 4x + 5$, sumbu X, dan interval $1 \leq x \leq 4$, kita perlu menghitung integral tentu dari fungsi tersebut pada interval yang diberikan.

Langkah 1: Tentukan apakah kurva memotong sumbu X dalam interval $1 \leq x \leq 4$. Titik potong sumbu X terjadi ketika $y = 0$.
$-x^2 + 4x + 5 = 0$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
$(x - 5)(x + 1) = 0$
$x = 5$ atau $x = -1$.

Karena titik potong sumbu X adalah $x = -1$ dan $x = 5$, dan interval yang diberikan adalah $1 \leq x \leq 4$, maka dalam interval ini kurva tidak memotong sumbu X. Kita perlu memeriksa apakah kurva berada di atas atau di bawah sumbu X.

Cek nilai fungsi pada interval $1 \leq x \leq 4$. Misalnya, ambil $x = 2$:
$y = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$.
Karena $y = 9$ (positif), maka kurva berada di atas sumbu X dalam interval $1 \leq x \leq 4$.

Langkah 2: Hitung integral tentu dari fungsi $y = -x^2 + 4x + 5$ dari $x = 1$ sampai $x = 4$.
Luas = $\int_{1}^{4} (-x^2 + 4x + 5) dx$

Langkah 3: Cari antiturunan dari fungsi tersebut.
Antiturunan dari $-x^2$ adalah $-\frac{1}{3}x^3$.
Antiturunan dari $4x$ adalah $2x^2$.
Antiturunan dari $5$ adalah $5x$.
Jadi, antiturunannya adalah $-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 5x$.

Langkah 4: Evaluasi antiturunan pada batas atas (4) dan batas bawah (1), lalu kurangkan.

Evaluasi pada $x = 4$:
$-\frac{1}{3}(4)^3 + 2(4)^2 + 5(4) = -\frac{64}{3} + 2(16) + 20 = -\frac{64}{3} + 32 + 20 = -\frac{64}{3} + 52$
$= \frac{-64 + 156}{3} = \frac{92}{3}$

Evaluasi pada $x = 1$:
$-\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 5(1) = -\frac{1}{3} + 2 + 5 = -\frac{1}{3} + 7$
$= \frac{-1 + 21}{3} = \frac{20}{3}$

Luas = (Evaluasi pada 4) - (Evaluasi pada 1)
Luas = $\frac{92}{3} - \frac{20}{3} = \frac{72}{3} = 24$

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^2+4x+5$, sumbu X, dan $1 \leq x \leq 4$ adalah 24 satuan luas.