lim x -> tak hingga (akar((x+p)(x+q)-x)=... A. 0D. 1/2(p+q)

Limitnya adalah 1/2(p+q).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga dari akar((x+p)(x+q)-x), kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

lim x→∞ √( (x+p)(x+q) ) - x

Pertama, ekspandalkan (x+p)(x+q):
(x+p)(x+q) = x² + qx + px + pq = x² + (p+q)x + pq

Jadi, ekspresi di dalam akar menjadi: x² + (p+q)x + pq.

Sekarang, kita punya:
lim x→∞ √( x² + (p+q)x + pq ) - x

Untuk menangani bentuk tak tentu ∞ - ∞, kita kalikan dengan bentuk sekawan:
Bentuk sekawan dari √( x² + (p+q)x + pq ) - x adalah √( x² + (p+q)x + pq ) + x.

Kalikan dengan (√( x² + (p+q)x + pq ) + x) / (√( x² + (p+q)x + pq ) + x):

[√( x² + (p+q)x + pq ) - x] * [√( x² + (p+q)x + pq ) + x] / [√( x² + (p+q)x + pq ) + x]

Ini menggunakan identitas (a-b)(a+b) = a² - b²:

[ (x² + (p+q)x + pq) - x² ] / [√( x² + (p+q)x + pq ) + x]

Sederhanakan pembilangnya:
(p+q)x + pq

Jadi, ekspresi menjadi:
[ (p+q)x + pq ] / [√( x² + (p+q)x + pq ) + x]

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (karena kita mencari limit saat x → ∞, kita perhatikan suku dengan pangkat tertinggi):

Bagi pembilang dengan x: (p+q) + pq/x

Untuk penyebut, kita perlu membagi setiap suku dengan x. Ingat bahwa x = √(x²) untuk x > 0.
√( x² + (p+q)x + pq ) / x = √( (x² + (p+q)x + pq) / x² ) = √( 1 + (p+q)/x + pq/x² )

Bagian kedua dari penyebut: x / x = 1

Jadi, ekspresi setelah membagi dengan x adalah:
[ (p+q) + pq/x ] / [√( 1 + (p+q)/x + pq/x² ) + 1]

Sekarang, ambil limit saat x → ∞:
Saat x → ∞, pq/x → 0, (p+q)/x → 0, dan pq/x² → 0.

Limit = [ (p+q) + 0 ] / [√( 1 + 0 + 0 ) + 1]
Limit = (p+q) / (√1 + 1)
Limit = (p+q) / (1 + 1)
Limit = (p+q) / 2

Jadi, lim x→∞ (√( (x+p)(x+q) ) - x) = 1/2(p+q).