Scorang ayah memberikan scbuah tantangan kepada anaknya
Pertanyaan
Seorang ayah memberikan sebuah tantangan kepada anaknya untuk menghitung jumlah uang koin yang diperlukan untuk memenuhi papan catur. Pada kotak pertama diberi 1 uang koin, kotak kedua 2 uang koin, 4 uang koin untuk kotak ketiga, 8 koin untuk kotak keempat demikian berlanjut sampai memenuhi 64 kotak. a. Bantu anak tersebut menentukan susunan banyak koin pada tiap-tiap kotak papan catur tersebut. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. b. Jika berat tiap-tiap uang koin adalah 16 gr, hitunglah berat uang koin pada tiap-tiap kotak. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan. c. Susunlah penyelesaian nomor (a) dan (b) dalam satu tabel. d. Banyak uang yang harus dikeluarkan untuk memenuhi papan catur, jika uang koin yang digunakan adalah Rp200,00, berapa rupiah uang yang diperlukan untuk memenuhi semua kotak?
Solusi
a. Kotak ke-n berisi 2^(n-1) koin. b. Kotak ke-n berisi 2^(n+3) gram. c. Tabel disajikan di atas. d. Jumlah uang adalah (2^64 - 1) * Rp200,00.
Pembahasan
Soal ini berkaitan dengan barisan geometri dan perhitungan jumlahnya. a. Susunan banyak koin pada tiap-tiap kotak papan catur dalam bentuk perpangkatan: Ini adalah barisan geometri dengan suku pertama (a) = 1 (koin di kotak pertama) dan rasio (r) = 2 (karena jumlah koin berlipat ganda setiap kotak). Jumlah koin pada kotak ke-n adalah a * r^(n-1). - Kotak 1: 1 = 2^0 - Kotak 2: 2 = 2^1 - Kotak 3: 4 = 2^2 - Kotak 4: 8 = 2^3 ... - Kotak ke-n: 2^(n-1) - Kotak 64: 2^(64-1) = 2^63 b. Berat uang koin pada tiap-tiap kotak dalam bentuk perpangkatan: Berat tiap koin = 16 gram. Berat koin pada tiap kotak adalah (jumlah koin di kotak) * (berat per koin). - Kotak 1: 1 koin * 16 gr = 16 gr = 2^4 gr - Kotak 2: 2 koin * 16 gr = 32 gr = 2^5 gr - Kotak 3: 4 koin * 16 gr = 64 gr = 2^6 gr - Kotak 4: 8 koin * 16 gr = 128 gr = 2^7 gr ... - Kotak ke-n: (2^(n-1)) * 16 = 2^(n-1) * 2^4 = 2^(n-1+4) = 2^(n+3) gr - Kotak 64: 2^63 * 16 gr = 2^63 * 2^4 gr = 2^(63+4) = 2^67 gr c. Tabel susunan penyelesaian nomor (a) dan (b): | Kotak (n) | Banyak Koin (a) | Berat per Koin (gr) | Total Berat (gr) | |-----------|-----------------|---------------------|------------------| | 1 | 2^0 = 1 | 16 = 2^4 | 2^(0+4) = 2^4 | | 2 | 2^1 = 2 | 16 = 2^4 | 2^(1+4) = 2^5 | | 3 | 2^2 = 4 | 16 = 2^4 | 2^(2+4) = 2^6 | | 4 | 2^3 = 8 | 16 = 2^4 | 2^(3+4) = 2^7 | | ... | ... | ... | ... | | 64 | 2^63 | 16 = 2^4 | 2^(63+4) = 2^67 | d. Banyak uang yang diperlukan untuk memenuhi papan catur jika uang koin Rp200,00: Jumlah total koin di semua 64 kotak adalah jumlah deret geometri: S_n = a(r^n - 1) / (r - 1) S_64 = 1 * (2^64 - 1) / (2 - 1) = 2^64 - 1. Jumlah uang yang diperlukan = (Total koin) * (Nilai per koin) Nilai per koin = Rp200,00. Jumlah uang = (2^64 - 1) * Rp200,00. Karena 2^64 adalah angka yang sangat besar, kita bisa menghitungnya atau menyatakannya dalam perpangkatan. 2^10 = 1024 ≈ 10^3 2^64 = 2^4 * 2^60 = 16 * (2^10)^6 ≈ 16 * (10^3)^6 = 16 * 10^18. Jumlah uang ≈ (16 * 10^18) * Rp200 Jumlah uang ≈ 3200 * 10^18 Rp Jumlah uang ≈ 3.2 * 10^21 Rp. Untuk perhitungan yang lebih tepat: Jumlah total koin = 2^64 - 1. Jumlah uang = (2^64 - 1) * 200 Rupiah. Ini adalah angka yang sangat besar dan biasanya dinyatakan dalam notasi ilmiah atau dibiarkan dalam bentuk perpangkatan.