Dari huruf yang tersedia, diambil 8 huruf sembarang satu

Ini adalah soal permutasi dengan batasan. Jika diasumsikan ada 26 huruf yang tersedia, dan 'CERDAS' dianggap sebagai satu blok, maka ada 4 posisi untuk blok tersebut (awal, kedua, ketiga, keempat), dan setiap dari 3 huruf sisanya dapat diisi dengan 26 cara. Maka, banyak caranya adalah 4 * 26^3 = 70.304 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan permutasi dan kombinasi dalam peluang. Kita perlu mencari banyaknya cara menyusun kata yang memuat subkata 'CERDAS' secara utuh dan berurutan, dengan pengambilan 8 huruf secara acak dengan pengembalian. 

Karena pengambilan dilakukan dengan pengembalian, jumlah total kemungkinan kata yang dapat dibentuk dari 8 huruf adalah n^8, di mana n adalah jumlah huruf yang tersedia. Namun, soal ini fokus pada pembentukan kata yang mengandung subkata 'CERDAS'.

Kita bisa menganggap 'CERDAS' sebagai satu blok tunggal. Jadi, kita memiliki blok 'CERDAS' dan sisa huruf yang diambil. Jika ada N huruf yang tersedia, dan kita mengambil 8 huruf:

Karena subkata 'CERDAS' harus muncul dalam rangkaian yang tidak terpisah, kita dapat menganggap 'CERDAS' sebagai satu unit. Ini berarti kita memiliki 5 huruf yang sudah pasti ('C', 'E', 'R', 'D', 'A', 'S').

Namun, cara soal ini dirumuskan ("Diambil 8 huruf sembarang satu per satu dengan pengembalian. Kedelapan huruf tersebut disusun membentuk sebuah kata.") menyiratkan bahwa kita memilih 8 posisi huruf, dan setiap posisi bisa diisi oleh salah satu huruf yang tersedia. Kemudian, kita diminta menghitung susunan yang mengandung 'CERDAS' sebagai substring.

Jika kita menganggap kata 'CERDAS' adalah unit yang harus muncul, dan kita menyusun 8 huruf, kita bisa menempatkan unit 'CERDAS' di berbagai posisi:
1. CERDAS _ _
2. _ CERDAS _
3. _ _ CERDAS

Namun, ini akan menjadi kompleks jika kita mempertimbangkan huruf-huruf yang berulang atau kemungkinan 'CERDAS' muncul lebih dari sekali.

Mari kita asumsikan bahwa ada 26 huruf dalam alfabet yang tersedia dan pengambilan dilakukan dengan pengembalian.

Untuk menyusun kata yang memuat subkata 'CERDAS' dalam rangkaian yang tidak terpisah, kita perlu mempertimbangkan 'CERDAS' sebagai satu blok. 

Ini berarti kita memiliki blok (CERDAS) dan 3 posisi kosong lainnya (karena 8 total posisi - 5 huruf CERDAS = 3 posisi).

Namun, cara pengambilan huruf adalah satu per satu dengan pengembalian. Ini berarti setiap posisi dalam kata 8 huruf dapat diisi oleh salah satu dari huruf yang tersedia. 

Jika kita harus menyusun kata yang **memuat** subkata 'CERDAS', kita bisa menggunakan prinsip inklusi-eksklusi atau cara yang lebih sederhana jika kita menganggap 'CERDAS' sebagai blok yang harus ada. 

Misalkan jumlah huruf yang tersedia adalah N. 

Kasus 1: 'CERDAS' dimulai dari posisi 1.
Kata = CERDAS _ _ _
Ada N pilihan untuk posisi ke-6, N untuk ke-7, dan N untuk ke-8. Jadi, N * N * N = N^3 cara.

Kasus 2: 'CERDAS' dimulai dari posisi 2.
Kata = _ CERDAS _
Ada N pilihan untuk posisi ke-1, N untuk posisi ke-8. Jadi, N * N = N^2 cara.

Kasus 3: 'CERDAS' dimulai dari posisi 3.
Kata = _ _ CERDAS
Ada N pilihan untuk posisi ke-1 dan ke-2. Jadi, N * N = N^2 cara.

Namun, ini belum memperhitungkan kemungkinan tumpang tindih atau 'CERDAS' muncul lebih dari sekali. Soal ini sepertinya merujuk pada masalah urutan, bukan pemilihan huruf spesifik. Jika kita menyusun 8 huruf yang sudah diambil:

Jika 8 huruf yang diambil adalah C, E, R, D, A, S, X, Y, maka berapa banyak cara menyusunnya sehingga ada 'CERDAS' di dalamnya?

Cara yang lebih tepat adalah melihat 'CERDAS' sebagai satu unit. Kita memiliki unit (CERDAS) dan 3 huruf lainnya. 

Jika kita menganggap ada total 26 huruf yang tersedia:

Banyak cara menempatkan blok 'CERDAS' (5 huruf) dalam urutan 8 huruf adalah sebanyak (8 - 5 + 1) = 4 posisi awal yang mungkin untuk blok 'CERDAS'.

Posisi awal blok 'CERDAS':
- Posisi 1: CERDAS _ _ _
- Posisi 2: _ CERDAS _
- Posisi 3: _ _ CERDAS

Untuk setiap posisi blok 'CERDAS', 3 huruf sisanya dapat diisi dengan huruf apa saja dari N pilihan dengan pengembalian.

Jadi, jumlah cara = (Jumlah posisi blok) * (N^jumlah huruf sisa)
Jumlah cara = 4 * N^3

Jika kita mengasumsikan N=26 (alfabet standar), maka banyak cara = 4 * 26^3 = 4 * 17576 = 70304.

Namun, jika maksud soal adalah dari Kumpulan Huruf yang Tersedia, dan kita mengambil 8 huruf, dan kemudian menyusunnya. Jika huruf yang tersedia adalah {C, E, R, D, A, S} dan mungkin huruf lain, dan kita mengambil 8 huruf secara acak dengan pengembalian.

Jika kita hanya memiliki huruf C, E, R, D, A, S (N=6):
Jumlah cara = 4 * 6^3 = 4 * 216 = 864.

Karena soal tidak menyebutkan jumlah huruf yang tersedia, kita harus mengasumsikan konteks yang paling umum atau yang paling masuk akal. Biasanya, jika tidak disebutkan, kita mengasumsikan alfabet lengkap (26 huruf).

Namun, jika pertanyaannya adalah