Dari sejumlah besar koin 25-an, 50-an, 100-an, dan 500-an,

56 cara

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan kombinatorika, khususnya masalah pengambilan objek dengan pengulangan atau tanpa pengulangan, tergantung interpretasi.

Asumsi 1: Pengambilan dengan pengulangan (seolah-olah kita memilih jenis koin sebanyak 5 kali, dan koin yang sama bisa dipilih berulang kali).
Ini adalah masalah "stars and bars" atau kombinasi dengan pengulangan.
Kita memiliki n = 4 jenis koin (25, 50, 100, 500).
Kita ingin mengambil k = 5 koin.
Jumlah cara = C(n + k - 1, k) = C(4 + 5 - 1, 5) = C(8, 5).
C(8, 5) = 8! / (5! * (8-5)!)
C(8, 5) = 8! / (5! * 3!)
C(8, 5) = (8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 3 * 2 * 1)
C(8, 5) = (8 * 7 * 6) / 6
C(8, 5) = 8 * 7 = 56.

Asumsi 2: Pengambilan tanpa pengulangan (jika setiap koin yang diambil adalah koin yang berbeda, yang kurang mungkin karena "dari sejumlah besar koin").
Jika kita mengambil 5 koin yang berbeda dari 4 jenis koin, ini tidak mungkin karena kita hanya punya 4 jenis.

Asumsi 3: Mengambil 5 koin TANPA MEMPEDULIKAN URUTAN dan koin dari jenis yang sama dianggap IDENTIK, dan kita bisa mengambil lebih dari satu koin dari jenis yang sama.
Ini adalah interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini, yang mengarah pada kombinasi dengan pengulangan (Asumsi 1).

Jadi, jika kita mengasumsikan bahwa kita bisa mengambil beberapa koin dari jenis yang sama (misalnya, 5 koin 25-an, atau 3 koin 25-an dan 2 koin 50-an, dst.), maka jumlah cara adalah 56.

Contoh beberapa cara:
- 5 koin 25-an
- 4 koin 25-an, 1 koin 50-an
- 3 koin 25-an, 2 koin 50-an
- 1 koin 25-an, 1 koin 50-an, 1 koin 100-an, 2 koin 500-an
- dan seterusnya.

Ini adalah masalah partisi atau komposisi dengan batasan jenis.
Rumus kombinasi dengan pengulangan: C(n+k-1, k) di mana n adalah jumlah jenis item yang bisa dipilih, dan k adalah jumlah item yang dipilih.
Dalam kasus ini, n=4 (jenis koin) dan k=5 (jumlah koin yang diambil).
Jumlah cara = C(4+5-1, 5) = C(8, 5) = 56.