Diketahui titik A(-2,3) dan B(4,5) persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis AB adalah $3x + y - 3 = \pm 9 \sqrt{10}$.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis AB, kita perlu langkah-langkah berikut:

1.  **Cari gradien garis AB:**
    Titik A(-2,3) dan B(4,5).
    Gradien ($m_{AB}$) = $\\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 3}{4 - (-2)} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}$.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
    Karena garis singgung tegak lurus dengan garis AB, maka gradien garis singgung ($m_{gs}$) adalah negatif kebalikan dari gradien AB.
    $m_{gs} = - \\frac{1}{m_{AB}} = - \\frac{1}{1/3} = -3$.

3.  **Cari pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 68 = 0$.
    Bentuk umum persamaan lingkaran: $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
    Pusat lingkaran (P) = $(-\\frac{A}{2}, -\\frac{B}{2}) = (-\\frac{-4}{2}, -\\frac{6}{2}) = (2, -3)$.
    Jari-jari ($r$) = $\\sqrt{(\\frac{A}{2})^2 + (\\frac{B}{2})^2 - C} = \\sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (-68)} = \\sqrt{4 + 9 + 68} = \\sqrt{81} = 9$.

4.  **Gunakan rumus jarak titik ke garis untuk garis singgung:**
    Persamaan garis singgung dengan gradien $m = -3$ adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$ atau $y = mx + c$. Kita akan menggunakan bentuk $y = mx + c$, yaitu $y = -3x + c$, atau $3x + y - c = 0$.

    Jarak dari pusat lingkaran (2, -3) ke garis singgung $3x + y - c = 0$ harus sama dengan jari-jari lingkaran (9).
    Rumus jarak titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$.
    Di sini, $(x_0, y_0) = (2, -3)$, $A=3$, $B=1$, $C=-c$, dan $d=9$.

    $9 = \\frac{|3(2) + 1(-3) - c|}{\\sqrt{3^2 + 1^2}}$
    $9 = \\frac{|6 - 3 - c|}{\\sqrt{9 + 1}}$
    $9 = \\frac{|3 - c|}{\\sqrt{10}}$
    $9 \\sqrt{10} = |3 - c|$

    Ini memberikan dua kemungkinan:
    a) $3 - c = 9 \\sqrt{10} \implies c = 3 - 9 \\sqrt{10}$
    b) $3 - c = -9 \\sqrt{10} \implies c = 3 + 9 \\sqrt{10}$

5.  **Tuliskan persamaan garis singgung:**
    Substitusikan nilai c kembali ke persamaan $y = -3x + c$.
    Persamaan garis singgung 1: $y = -3x + (3 - 9 \\sqrt{10})$ atau $3x + y + (9 \\sqrt{10} - 3) = 0$.
    Persamaan garis singgung 2: $y = -3x + (3 + 9 \\sqrt{10})$ atau $3x + y - (9 \\sqrt{10} + 3) = 0$.

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis AB adalah $3x + y - 3 = \pm 9 \sqrt{10}$ atau $y = -3x + 3 \pm 9 \sqrt{10}$.