Sebuah matriks disebut matriks ortogonal jika A^(-1)=A^T.

9

Pembahasan

Sebuah matriks A disebut matriks ortogonal jika inversnya (A⁻¹) sama dengan transposnya (Aᵀ), yaitu A⁻¹ = Aᵀ. Syarat lain untuk matriks ortogonal adalah hasil perkalian matriks tersebut dengan transposnya adalah matriks identitas (A * Aᵀ = I).

Diketahui matriks A:
A = 
| 3/7  2/7  a |
| 3/7  2/7  b |
| 2/7  6/7  c |

Transpos dari matriks A adalah:
Aᵀ = 
| 3/7  3/7  2/7 |
| 2/7  2/7  6/7 |
| a    b    c   |

Karena A adalah matriks ortogonal, maka A * Aᵀ = I (matriks identitas).
I = 
| 1  0  0 |
| 0  1  0 |
| 0  0  1 |

Mari kita hitung perkalian A * Aᵀ. Kita fokus pada elemen-elemen yang akan memberikan informasi tentang a, b, dan c. Khususnya, kita akan melihat perkalian baris dengan kolom yang sesuai di Aᵀ untuk mendapatkan elemen diagonal matriks identitas.

Elemen pada baris 1, kolom 1 (A * Aᵀ)₁₁:
(3/7)*(3/7) + (2/7)*(2/7) + a*a = 1
9/49 + 4/49 + a² = 1
13/49 + a² = 49/49
a² = 49/49 - 13/49 = 36/49

Elemen pada baris 2, kolom 2 (A * Aᵀ)₂₂:
(3/7)*(3/7) + (2/7)*(2/7) + b*b = 1
9/49 + 4/49 + b² = 1
13/49 + b² = 49/49
b² = 49/49 - 13/49 = 36/49

Elemen pada baris 3, kolom 3 (A * Aᵀ)₃₃:
(2/7)*(2/7) + (6/7)*(6/7) + c*c = 1
4/49 + 36/49 + c² = 1
40/49 + c² = 49/49
c² = 49/49 - 40/49 = 9/49

Kita perlu mencari nilai dari 7√(a² + b² + c²).
Substitusikan nilai a², b², dan c² yang telah kita temukan:
a² + b² + c² = 36/49 + 36/49 + 9/49 = (36 + 36 + 9) / 49 = 81/49.

Sekarang hitung akar kuadratnya:
√(a² + b² + c²) = √(81/49) = 9/7.

Terakhir, kalikan dengan 7:
7 * √(a² + b² + c²) = 7 * (9/7) = 9.

Jadi, nilai dari 7√(a² + b² + c²) adalah 9.