Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran 12

Volume kotak adalah V(x) = x(12-2x)^2. Domainnya adalah 0 < x < 6. Volume terbesar adalah 128 cm^3 saat x = 2 cm.

Pembahasan

Untuk menyatakan volume kotak tersebut, kita perlu memahami bagaimana dimensi kotak terbentuk dari karton persegi awal. Karton berukuran 12 cm x 12 cm. Empat persegi dengan ukuran x cm x x cm dipotong dari setiap pojok. Tinggi kotak akan sama dengan sisi persegi yang dipotong, yaitu x cm. Panjang dan lebar alas kotak akan berkurang sebesar 2x dari ukuran awal karton karena pemotongan di kedua sisi. Jadi, panjang alas = (12 - 2x) cm dan lebar alas = (12 - 2x) cm.

Volume (V) sebuah kotak dihitung dengan mengalikan panjang, lebar, dan tinggi. Maka, volume kotak tersebut adalah:
V(x) = panjang \times lebar \times tinggi
V(x) = (12 - 2x) \times (12 - 2x) \times x
V(x) = x(12 - 2x)^2
V(x) = x(144 - 48x + 4x^2)
V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x

Untuk bagian b, domain fungsi volume ditentukan oleh nilai-nilai x yang masuk akal dalam konteks masalah. Tinggi x harus positif, jadi x > 0. Selain itu, panjang dan lebar alas (12 - 2x) juga harus positif. Jadi, 12 - 2x > 0, yang berarti 12 > 2x, atau x < 6. Oleh karena itu, domain fungsi volume adalah 0 < x < 6.

Untuk menggambar grafik fungsi V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x pada domain 0 < x < 6, kita dapat menganalisis beberapa titik kunci dan sifat fungsi turunan:
1. Titik potong sumbu x: V(x) = 0 ketika x(12 - 2x)^2 = 0, sehingga x = 0 atau x = 6. Namun, karena domainnya 0 < x < 6, kita hanya mempertimbangkan titik x=6 sebagai batas.
2. Turunan pertama: V'(x) = 12x^2 - 96x + 144. Untuk mencari nilai maksimum/minimum, atur V'(x) = 0: 12(x^2 - 8x + 12) = 0, yaitu 12(x - 2)(x - 6) = 0. Nilai kritisnya adalah x = 2 dan x = 6.
3. Analisis turunan kedua atau tanda turunan pertama: V''(x) = 24x - 96. V''(2) = 24(2) - 96 = 48 - 96 = -48 (negatif), menunjukkan titik maksimum lokal di x = 2. V''(6) = 24(6) - 96 = 144 - 96 = 48 (positif), menunjukkan titik minimum lokal di x = 6.

Pada bagian c, volume kotak terbesar terjadi pada nilai x yang memberikan volume maksimum. Dari analisis turunan, nilai x = 2 cm memberikan volume maksimum. Volume maksimum adalah:
V(2) = 4(2)^3 - 48(2)^2 + 144(2)
V(2) = 4(8) - 48(4) + 288
V(2) = 32 - 192 + 288
V(2) = 128 cm^3.