Delapan orang peserta wisata harus menginap dalam 1 kamar 2

280 cara

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan masalah permutasi dan kombinasi, khususnya partisi.
Kita memiliki 8 peserta wisata yang perlu ditempatkan di kamar.
Kamar yang tersedia adalah: 1 kamar dengan 2 tempat tidur dan 2 kamar masing-masing dengan 3 tempat tidur.
Langkah 1: Pilih 2 peserta untuk kamar pertama (2 tempat tidur).
Banyak cara memilih 2 peserta dari 8 adalah $\binom{8}{2}$.
$\binom{8}{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ cara.
Langkah 2: Tempatkan sisa peserta di kamar berikutnya.
Setelah 2 peserta ditempatkan, tersisa $8 - 2 = 6$ peserta.
Sekarang kita perlu membagi 6 peserta ini ke dalam dua kamar yang masing-masing berkapasitas 3 tempat tidur.
Pertama, pilih 3 peserta dari 6 untuk kamar ketiga.
Banyak cara memilih 3 peserta dari 6 adalah $\binom{6}{3}$.
$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 	imes 4}{3 	imes 2 	imes 1} = 20$ cara.
Langkah 3: Tempatkan sisa peserta di kamar terakhir.
Setelah 3 peserta ditempatkan di kamar ketiga, tersisa $6 - 3 = 3$ peserta.
Ketiga peserta ini akan menempati kamar terakhir (3 tempat tidur).
Banyak cara memilih 3 peserta dari 3 adalah $\binom{3}{3}$.
$\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$ cara.
Langkah 4: Gabungkan semua cara.
Karena kamar yang berisi 3 tempat tidur adalah identik (tidak dibedakan), kita perlu membagi hasil perkalian banyak cara dengan jumlah permutasi dari kamar-kamar identik tersebut. Dalam kasus ini, ada 2 kamar identik (masing-masing dengan 3 tempat tidur).
Total cara penempatan = (Cara memilih untuk kamar 2 tempat tidur) $\times$ (Cara memilih untuk kamar 3 tempat tidur pertama) $\times$ (Cara memilih untuk kamar 3 tempat tidur kedua) / (Jumlah kamar identik)!
Total cara = $\binom{8}{2} \times \binom{6}{3} \times \binom{3}{3} / 2!$
Total cara = $28 \times 20 \times 1 / 2$
Total cara = $560 / 2 = 280$ cara.

Jadi, banyak cara penempatan peserta wisata dalam kamar sebanyak 280 cara.