Dengan menjabarkan ruas kiri, tunjukkan bahwa: cos 7 cos 14

Identitas trigonometri terbukti dengan menggunakan identitas $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ dan relasi $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$ serta $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\cos 7^{\circ} \cos 14^{\circ} \cos 28^{\circ} \cos 56^{\circ} = \frac{\sin 68^{\circ}}{16 \cos 83^{\circ}}$, kita dapat mulai dengan menjabarkan ruas kiri. Gunakan identitas $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$, yang dapat ditulis ulang sebagai $\cos \theta = \frac{\sin(2\theta)}{2 \sin \theta}$.

Mari kita mulai dari ruas kiri:
Luas Kiri = $\cos 7^{\circ} \cos 14^{\circ} \cos 28^{\circ} \cos 56^{\circ}$

Kalikan dan bagi dengan $16 \sin 7^{\circ}$ untuk memanipulasi ekspresi tersebut:
Luas Kiri = $\frac{1}{16 \sin 7^{\circ}} (16 \sin 7^{\circ} \cos 7^{\circ} \cos 14^{\circ} \cos 28^{\circ} \cos 56^{\circ})$

Gunakan identitas $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ berulang kali:
$2 \sin 7^{\circ} \cos 7^{\circ} = \sin 14^{\circ}$
Jadi, Luas Kiri = $\frac{1}{16 \sin 7^{\circ}} (8 \sin 14^{\circ} \cos 14^{\circ} \cos 28^{\circ} \cos 56^{\circ})$

$2 \sin 14^{\circ} \cos 14^{\circ} = \sin 28^{\circ}$
Jadi, Luas Kiri = $\frac{1}{16 \sin 7^{\circ}} (4 \sin 28^{\circ} \cos 28^{\circ} \cos 56^{\circ})$

$2 \sin 28^{\circ} \cos 28^{\circ} = \sin 56^{\circ}$
Jadi, Luas Kiri = $\frac{1}{16 \sin 7^{\circ}} (2 \sin 56^{\circ} \cos 56^{\circ})$

$2 \sin 56^{\circ} \cos 56^{\circ} = \sin 112^{\circ}$
Jadi, Luas Kiri = $\frac{1}{16 \sin 7^{\circ}} (\sin 112^{\circ})$

Sekarang kita perlu menghubungkannya dengan ruas kanan, $\frac{\sin 68^{\circ}}{16 \cos 83^{\circ}}$.
Kita tahu bahwa $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
Maka, $\sin 112^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 112^{\circ}) = \cos(-22^{\circ}) = \cos 22^{\circ}$.
Jadi, Luas Kiri = $\frac{\cos 22^{\circ}}{16 \sin 7^{\circ}}$.

Kita juga tahu bahwa $\cos \theta = \sin(90^{\circ} - \theta)$.
Maka, $\cos 83^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 83^{\circ}) = \sin 7^{\circ}$.
Dan $\sin 68^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 68^{\circ}) = \cos 22^{\circ}$.

Jadi, ruas kanan adalah $\frac{\cos 22^{\circ}}{16 \sin 7^{\circ}}$.

Karena Luas Kiri = $\frac{\cos 22^{\circ}}{16 \sin 7^{\circ}}$ dan Ruas Kanan = $\frac{\cos 22^{\circ}}{16 \sin 7^{\circ}}$, maka identitas tersebut terbukti.