Di antara fungsi berikut yang tidak mempunyai asimtot tegak

Fungsi f(x)=(x^2-3x+2)/(x^2+4) tidak memiliki asimtot tegak.

Pembahasan

Asimtot tegak dari suatu fungsi rasional terjadi pada nilai-x yang membuat penyebutnya nol, namun tidak membuat pembilangnya juga nol pada nilai x yang sama. Mari kita analisis setiap pilihan:

A. f(x) = (2x^2 - x - 1) / (x^2 - 1). Penyebutnya adalah x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Penyebut nol ketika x = 1 atau x = -1. Pembilangnya adalah 2x^2 - x - 1. Jika x = 1, pembilang = 2(1)^2 - 1 - 1 = 0. Jika x = -1, pembilang = 2(-1)^2 - (-1) - 1 = 2 + 1 - 1 = 2. Karena pembilang juga nol saat x = 1, maka ada kemungkinan terjadi lubang (hole) di x=1, bukan asimtot tegak. Namun, jika kita faktorkan pembilangnya: 2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1). Maka f(x) = ((2x+1)(x-1)) / ((x-1)(x+1)) = (2x+1)/(x+1) untuk x != 1. Jadi, ada asimtot tegak di x = -1.

B. f(x) = (x^2 - 3x + 2) / (x^2 + 4). Penyebutnya adalah x^2 + 4. Karena x^2 selalu positif, maka x^2 + 4 tidak akan pernah sama dengan nol untuk bilangan real x. Oleh karena itu, fungsi ini tidak memiliki asimtot tegak.

C. f(x) = (2x + 1) / (x^2 - 9). Penyebutnya adalah x^2 - 9 = (x-3)(x+3). Penyebut nol ketika x = 3 atau x = -3. Pembilangnya adalah 2x + 1. Jika x = 3, pembilang = 2(3) + 1 = 7 (tidak nol). Jika x = -3, pembilang = 2(-3) + 1 = -5 (tidak nol). Jadi, ada asimtot tegak di x = 3 dan x = -3.

D. f(x) = (4x^2 - 1) / (2x - 3). Penyebutnya adalah 2x - 3. Penyebut nol ketika x = 3/2. Pembilangnya adalah 4x^2 - 1. Jika x = 3/2, pembilang = 4(3/2)^2 - 1 = 4(9/4) - 1 = 9 - 1 = 8 (tidak nol). Jadi, ada asimtot tegak di x = 3/2.

E. f(x) = (x^2 + 1) / x^2. Penyebutnya adalah x^2. Penyebut nol ketika x = 0. Pembilangnya adalah x^2 + 1. Jika x = 0, pembilang = 0^2 + 1 = 1 (tidak nol). Jadi, ada asimtot tegak di x = 0.

Kesimpulannya, fungsi yang tidak mempunyai asimtot tegak adalah f(x)=(x^2-3x+2)/(x^2+4) karena penyebutnya tidak pernah nol untuk bilangan real.