Diberikan a,b, dan c bilangan real positif. Carilah nilai

3.6 atau 18/5

Pembahasan

Diberikan ekspresi E = (a+3c)/(a+2b+c) + 4b/(a+b+2c) + 8c/(a+b+3c), di mana a, b, dan c adalah bilangan real positif. Kita ingin mencari nilai terkecil dari ekspresi ini.

Kita dapat menggunakan ketidaksetaraan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) atau manipulasi aljabar.
Mari kita coba manipulasi:

E = (a+2b+c - 2b)/(a+2b+c) + (a+b+2c - a - c)/(a+b+2c) + 4(a+b+3c - a - b - c)/(a+b+3c)
E = 1 - 2b/(a+2b+c) + (a+b+2c)/(a+b+2c) - (a+c)/(a+b+2c) + 4 - 4(a+b+c)/(a+b+3c)
Ini terlihat rumit.

Mari kita coba pendekatan lain dengan substitusi atau mengamati struktur ekspresi.
Perhatikan bahwa penyebutnya memiliki pola yang serupa. Jika kita misalkan a=1, b=1, c=1:
E = (1+3)/(1+2+1) + 4(1)/(1+1+2) + 8(1)/(1+1+3)
E = 4/4 + 4/4 + 8/5
E = 1 + 1 + 1.6 = 3.6

Jika kita perhatikan struktur soal ini mirip dengan soal olimpiade yang seringkali memiliki solusi simetris atau dapat disederhanakan dengan substitusi tertentu.

Mari kita coba substitusi a=x, b=x, c=x.
E = (x+3x)/(x+2x+x) + 4x/(x+x+2x) + 8x/(x+x+3x)
E = 4x/4x + 4x/4x + 8x/5x
E = 1 + 1 + 8/5 = 2 + 1.6 = 3.6

Misalkan kita coba a=1, b=2, c=1:
E = (1+3)/(1+4+1) + 4(2)/(1+2+2) + 8(1)/(1+2+3)
E = 4/6 + 8/5 + 8/6
E = 12/6 + 8/5 = 2 + 1.6 = 3.6

Terlihat bahwa nilai ekspresi ini konstan 3.6 untuk substitusi tertentu.

Untuk membuktikan ini secara umum, kita bisa menggunakan ketidaksetaraan Cauchy-Schwarz atau metode lain.
Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda dan kita telah menemukan nilai yang konsisten, kemungkinan besar itu adalah nilai minimumnya.

Tanpa metode pembuktian formal yang ketat di sini, berdasarkan pengamatan substitusi, nilai terkecil tampaknya adalah 3.6 atau 18/5.

Namun, perlu dicatat bahwa soal ini sangat sulit dan seringkali memerlukan teknik lanjutan seperti penggunaan inequality seperti Nesbitt's inequality yang dimodifikasi atau Cauchy-Schwarz.

Jika kita mengasumsikan a=b=c, maka nilai ekspresi adalah 3.6. Jika kita bisa membuktikan bahwa ekspresi ini tidak pernah kurang dari 3.6, maka itu adalah nilai minimumnya.