Diberikan barisan geometri a, a+b, 4a+b+9. Jika a, a+b dan

b=3

Pembahasan

Diberikan barisan geometri a, a+b, 4a+b+9. Ini berarti rasio antara suku-suku berurutan adalah konstan.

Suku pertama = a
Suku kedua = a + b
Suku ketiga = 4a + b + 9

Rasio (r) = (Suku kedua) / (Suku pertama) = (a+b)/a
Rasio (r) = (Suku ketiga) / (Suku kedua) = (4a+b+9)/(a+b)

Karena rasio konstan, maka:
(a+b)/a = (4a+b+9)/(a+b)
(a+b)^2 = a(4a+b+9)
a^2 + 2ab + b^2 = 4a^2 + ab + 9a
b^2 + ab - 3a^2 - 9a = 0  (Persamaan 1 untuk barisan geometri)

Selanjutnya, diberikan bahwa a, a+b, dan 4a+b merupakan suatu barisan aritmetika. Ini berarti selisih antara suku-suku berurutan adalah konstan.

Suku pertama aritmetika = a
Suku kedua aritmetika = a + b
Suku ketiga aritmetika = 4a + b

Selisih (d) = (Suku kedua) - (Suku pertama) = (a+b) - a = b
Selisih (d) = (Suku ketiga) - (Suku kedua) = (4a+b) - (a+b) = 4a + b - a - b = 3a

Karena selisih konstan, maka:
b = 3a

Sekarang kita substitusikan b = 3a ke dalam Persamaan 1:
(3a)^2 + a(3a) - 3a^2 - 9a = 0
9a^2 + 3a^2 - 3a^2 - 9a = 0
9a^2 - 9a = 0
9a(a - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk a:
a = 0 atau a = 1.

Jika a = 0, maka b = 3a = 3(0) = 0. Namun, jika a=0, barisan geometri menjadi 0, 0, 9, yang bukan merupakan barisan geometri karena suku pertamanya nol dan rasio tidak terdefinisi.

Jika a = 1, maka b = 3a = 3(1) = 3.

Mari kita periksa apakah a=1 dan b=3 memenuhi kondisi awal.
Barisan geometri: a, a+b, 4a+b+9 menjadi 1, 1+3, 4(1)+3+9 = 1, 4, 16. Rasio = 4/1 = 4, dan 16/4 = 4. Ini adalah barisan geometri yang valid.
Barisan aritmetika: a, a+b, 4a+b menjadi 1, 1+3, 4(1)+3 = 1, 4, 7. Selisih = 4-1 = 3, dan 7-4 = 3. Ini adalah barisan aritmetika yang valid.

Oleh karena itu, nilai b adalah 3.