Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang masingmasing rusuk

2√3 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik R ke bidang CDPQ, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasikan Kubus dan Bidang:** Bayangkan kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P pada EH dan Q pada FG. Bidang CDPQ membentuk sudut 60 derajat dengan bidang alas ABCD. Titik R adalah titik tengah AB.

2.  **Tentukan Posisi Titik R:** Karena R adalah titik tengah AB, maka jarak R ke AD sama dengan jarak R ke BC, yaitu 2 cm. Jarak R ke garis AB adalah 0, dan jarak R ke garis CD adalah 4 cm.

3.  **Tentukan Jarak dari R ke Bidang CDPQ:** Jarak dari titik ke bidang adalah jarak tegak lurus. Dalam kasus ini, kita perlu mencari jarak tegak lurus dari R ke bidang CDPQ. Bidang CDPQ ini miring.

4.  **Gunakan Proyeksi:** Cara termudah adalah dengan mempertimbangkan proyeksi titik R pada bidang alas ABCD. Jarak dari R ke garis CD pada bidang alas adalah 4 cm.

5.  **Hubungan Sudut:** Sudut 60 derajat yang dibentuk bidang CDPQ dengan bidang ABCD adalah sudut antara garis PQ (yang sejajar dengan EH dan FG) dan bidang ABCD. Jarak yang kita cari adalah jarak dari R tegak lurus ke bidang CDPQ.

6.  **Pendekatan Geometri:** Misalkan kita ambil titik S pada garis PQ sehingga RS tegak lurus terhadap bidang CDPQ. Jarak yang kita cari adalah RS.

7.  **Perhatikan Segitiga Siku-siku:** Bentuk segitiga siku-siku dengan sudut 60 derajat. Jarak dari R ke bidang alas (garis CD) adalah 4 cm. Misalkan jarak dari R ke bidang CDPQ adalah d. Proyeksi jarak ini pada bidang alas adalah 4 cm. Hubungan antara jarak tegak lurus (d) dan proyeksinya (4 cm) terkait dengan sudut 60 derajat.

8.  **Perhitungan:** Jika kita membayangkan sebuah segitiga siku-siku di mana hipotenusanya adalah jarak dari R ke suatu titik di PQ (tegak lurus bidang alas), sisi di depannya adalah tinggi kubus (4 cm), dan sudut yang diketahui adalah 60 derajat. Namun, ini bukan cara yang tepat.

Alternatif: Perhatikan bahwa bidang CDPQ sejajar dengan garis AD dan BC. Jarak dari titik R ke bidang CDPQ sama dengan jarak dari garis EH ke bidang CDPQ jika R terletak pada garis yang sejajar dengan EH dan berjarak sama dari CD. Namun, R berada di tengah AB.

Mari kita gunakan vektor atau koordinat untuk presisi.

Asumsikan D=(0,0,0), C=(4,0,0), B=(4,4,0), A=(0,4,0).
E=(0,4,4), F=(4,4,4), G=(4,0,4), H=(0,0,4).

Titik R di tengah AB: R = (0+4)/2, (4+4)/2, 0 = (2, 4, 0).

Titik P pada EH, Q pada FG. Bidang CDPQ. Persamaan bidang ABCD adalah z=0.

Karena P pada EH, P = (0, y_p, 4). Karena Q pada FG, Q = (4, y_q, 4).
Bidang CDPQ memotong garis DH di D=(0,0,0) dan garis CG di C=(4,0,0). Seharusnya C dan D ada di bidang alas. Titik P pada EH dan Q pada FG.

Bidang CDPQ. Titik C=(4,0,0), D=(0,0,0).
P pada EH, jadi P=(0, 0, 4) atau P=(0, 4, 4)? EH adalah rusuk vertikal. EH menghubungkan E dan H. E=(0,4,4), H=(0,0,4). Maka P=(0, y_p, 4) dengan 0 <= y_p <= 4.
FG menghubungkan F=(4,4,4) dan G=(4,0,4). Maka Q=(4, y_q, 4) dengan 0 <= y_q <= 4.

Bidang CDPQ memuat C(4,0,0), D(0,0,0), P(0, y_p, 4), Q(4, y_q, 4).

Karena bidang CDPQ membentuk sudut 60 derajat dengan bidang ABCD (z=0), maka proyeksi bidang CDPQ pada bidang ABCD adalah bidang ABCD itu sendiri. Garis potong kedua bidang adalah garis CD.

Ambil sebuah garis pada bidang CDPQ yang tegak lurus dengan garis potong CD, misalnya garis DP' dimana P' adalah titik pada PQ.
Jarak titik R(2,4,0) ke bidang CDPQ.

Persamaan bidang CDPQ:
Bidang ini melalui D(0,0,0) dan C(4,0,0). Vektor DC = (4,0,0).
Vektor DP = (0, y_p, 4).
Vektor DQ = (4, y_q, 4).

Jika bidang CDPQ sejajar dengan AB dan EF, maka P=H dan Q=G. Bidang CDHG. Ini adalah bidang tegak. Bukan miring.

Jika P pada EH dan Q pada FG, maka bidang CDPQ adalah bidang yang dibentuk oleh C, D, P, Q.
Karena P di EH, P = (0, y_P, 4). Karena Q di FG, Q = (4, y_Q, 4).
Kita diberitahu bahwa bidang CDPQ membentuk sudut 60 derajat dengan bidang ABCD. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara garis normalnya.
Atau, sudut antara dua garis yang tegak lurus bidang potongnya.

Garis pada CDPQ tegak lurus CD: Ambil titik M pada PQ. Proyeksikan M ke bidang alas, katakanlah M'. Jika MM' tegak lurus CD, maka sudut antara MM' dan garis di CDPQ yang melalui M dan tegak lurus CD adalah 60 derajat.

Misal kita ambil titik pada PQ, katakanlah titik tengah PQ, S = (2, (y_p+y_q)/2, 4). Namun, PQ tidak harus sejajar AB.

Karena P terletak pada EH dan Q pada FG, dan bidang CDPQ membentuk sudut 60 derajat dengan bidang ABCD, maka kita bisa membayangkan sebuah penampang tegak lurus bidang potong CD.

Dalam penampang ini, kita punya garis CD pada bidang alas, dan garis PQ pada bidang miring.
Jarak antara garis PQ dan garis CD tegak lurus bidang alas adalah 4 cm (tinggi kubus).
Misalkan kita ambil titik X pada CD dan Y pada PQ sehingga XY tegak lurus CD dan XY berada pada bidang miring.
Maka sudut antara XY dan bidang alas adalah 60 derajat.

Jika titik P dan Q dipilih sedemikian rupa sehingga PQ sejajar dengan CD, maka P=H dan Q=G. Bidang CDHG. Sudutnya 90 derajat.

Soal ini menyiratkan bahwa P dan Q dipilih sehingga bidang CDPQ memiliki kemiringan tertentu.

Jika bidang CDPQ membentuk sudut 60 derajat dengan bidang ABCD, ambil garis tegak lurus bidang potong CD di titik D, yaitu garis DH. Proyeksikan DH ke bidang CDPQ. Proyeksi DH pada bidang CDPQ adalah garis DP (jika P terletak sedemikian rupa).

Cara lain: Tinggi bidang miring ke bidang alas.
Misalkan kita ambil titik X di CD dan Y di PQ sedemikian sehingga XY tegak lurus CD. Jarak XY dalam ruang adalah jarak tegak lurus antara garis PQ dan garis CD. Namun, ini tidak benar.

Kita perlu mencari jarak dari R ke bidang CDPQ. R(2,4,0).

Bidang CDPQ sejajar dengan AB dan EF jika P dan Q adalah titik yang sesuai.
Misalkan P pada EH dan Q pada FG.
Jika kita ambil P di H dan Q di G, maka bidangnya adalah CDHG, yang tegak lurus ABCD.

Jika bidang CDPQ membentuk sudut 60 dengan ABCD, dan kita ambil titik M pada PQ, dan N pada CD, sehingga MN tegak lurus CD dan MN terletak pada bidang CDPQ, maka sudut antara MN dan bidang ABCD adalah 60 derajat.

Jarak dari R(2,4,0) ke bidang CDPQ.

Karena R berada pada bidang ABCD, jarak dari R ke bidang CDPQ adalah jarak tegak lurus dari R ke bidang tersebut.

Misalkan kita menggeser bidang CDPQ sehingga sejajar dengan ABCD, dan memproyeksikan R ke bidang tersebut. Tapi ini tidak membantu.

Jika sudut antara bidang CDPQ dan ABCD adalah 60 derajat, dan kita ambil garis yang tegak lurus bidang ABCD, yaitu garis vertikal dari R, katakanlah ke titik R' pada bidang CDPQ.

Jarak dari R ke bidang CDPQ adalah proyeksi jarak vertikal dari R ke bidang CDPQ.

Jarak R ke garis CD pada bidang alas adalah 4 cm.

Misalkan kita memiliki sebuah penampang tegak lurus bidang potong CD. Di bidang alas ada titik X (pada CD), dan di bidang miring ada titik Y (pada PQ). XY tegak lurus CD.

Sudut antara XY dan bidang alas adalah 60 derajat.
Jarak dari R ke bidang CDPQ.

Karena R terletak pada bidang ABCD, jarak dari R ke bidang CDPQ adalah jarak vertikal dari R ke bidang CDPQ, dikalikan dengan kosinus sudut antara bidang CDPQ dan bidang ABCD.

Ini adalah interpretasi yang salah.

Jarak dari titik ke bidang adalah jarak tegak lurus.
Misalkan bidang CDPQ adalah bidang $\pi$. Persamaan bidang $\pi$: $ax+by+cz+d=0$.
Karena bidang melalui D(0,0,0) dan C(4,0,0), maka $d=0$ dan $4a=0$, jadi $a=0$.
Bidangnya adalah $by+cz=0$.
Karena P(0, y_p, 4) ada di bidang, $by_p+4c=0$, jadi $c = -by_p/4$.
Bidangnya menjadi $by - (by_p/4)z = 0$. Jika $b \neq 0$, $y - (y_p/4)z = 0$.
Ini berarti bidang tersebut tegak lurus bidang ABCD, jika $y_p=0$. Ini jika P=H.

Jika P pada EH, P=(0, y_p, 4). Jika Q pada FG, Q=(4, y_q, 4).
Normal bidang ABCD adalah $\vec{n}_{ABCD} = (0,0,1)$.

Normal bidang CDPQ. Vektor $\vec{DC} = (4,0,0)$. Vektor $\vec{DP} = (0, y_p, 4)$.
Normal $\vec{n}_{CDPQ} = \vec{DC} \times \vec{DP} = (0, -16, 0)$. Ini jika P=H.

Ini berarti ada kekeliruan dalam pemahaman soal atau saya.

Misalkan P dan Q dipilih sedemikian sehingga garis PQ sejajar dengan garis AB dan EF.
Jika PQ sejajar AB, maka P dan Q memiliki koordinat y yang sama. P=(0, y_0, 4), Q=(4, y_0, 4).
Bidang CDPQ melalui C(4,0,0), D(0,0,0), P(0, y_0, 4), Q(4, y_0, 4).
Bidang ini memiliki normal $(0, -4, y_0)$.
Persamaan bidang: $-4y + y_0 z = 0$.
Normal bidang ABCD: $(0,0,1)$.
Cos sudut antara bidang: $\frac{|(0, -4, y_0) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{0^2+(-4)^2+y_0^2} \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{|y_0|}{\sqrt{16+y_0^2}}$.
Kita tahu cos(60) = 1/2.
$\frac{|y_0|}{\sqrt{16+y_0^2}} = 1/2$.
$2|y_0| = \sqrt{16+y_0^2}$.
$4y_0^2 = 16+y_0^2$.
$3y_0^2 = 16$.
$y_0^2 = 16/3$.
$y_0 = 4/\sqrt{3}$.

Jadi, P=(0, 4/$\sqrt{3}$, 4), Q=(4, 4/$\sqrt{3}$, 4).
Bidang CDPQ: $-4y + (4/\sqrt{3})z = 0$, atau $- \sqrt{3}y + z = 0$.

Titik R = (2, 4, 0).
Jarak R ke bidang $- \sqrt{3}y + z = 0$: $\frac{|-\sqrt{3}(4) + 0|}{\sqrt{0^2+(-\sqrt{3})^2+1^2}} = \frac{|-4\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Ini jika PQ sejajar AB.

Bagaimana jika PQ tidak sejajar AB?

Perhatikan penampang tegak lurus CD. Di bidang alas, kita punya segmen CD. Di bidang miring, kita punya segmen PQ.
Misalkan titik X di CD dan Y di PQ, XY tegak lurus CD, dan XY pada bidang CDPQ. Maka sudut antara XY dan bidang alas adalah 60 derajat.

Jarak dari R ke bidang CDPQ. R berada pada bidang ABCD.
Jarak dari R ke bidang CDPQ = (Jarak R ke garis potong CD) * tan(sudut antara bidang CDPQ dan ABCD).
Ini juga salah.

Jarak dari R ke bidang CDPQ = (Jarak R ke proyeksi bidang CDPQ pada bidang yang tegak lurus CD).

Bayangkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh garis tegak lurus bidang alas dari P (yaitu P ke titik P' pada alas), dan garis di bidang miring.
Jika P pada EH, maka proyeksi P pada ABCD adalah E atau H. Misal P di H. H=(0,0,4). Proyeksi H pada ABCD adalah D=(0,0,0).

Perhatikan segitiga siku-siku di mana satu sisi adalah jarak vertikal (4 cm), dan sisi lain adalah jarak di bidang miring.
Misalkan kita ambil titik S pada bidang CDPQ, sehingga RS tegak lurus bidang CDPQ.

Consider a point M on PQ. Let M' be its projection on the base ABCD. The distance MM' is 4. The line segment MM' is perpendicular to the base. 
If we take a line segment XY in the plane CDPQ such that XY is perpendicular to CD, and X is on CD, Y is on PQ. The angle between XY and the base is 60 degrees.

The distance from R to the plane CDPQ.
R is on the base ABCD.
Let's consider a point X on CD. The distance from X to PQ along a line perpendicular to CD and lying on the plane CDPQ is $d_{miring}$. The vertical distance corresponding to this is $h$. The angle is 60 degrees. $h = d_{miring} 	an(60)$.

This implies that the distance between the lines CD and PQ in the direction perpendicular to CD and within the plane CDPQ is related to the height.

If we consider a cross-section perpendicular to CD, we see a right-angled triangle. The vertical side is 4 (height of the cube). The hypotenuse is a line segment on the plane CDPQ that is perpendicular to CD. The angle between the hypotenuse and the base is 60 degrees.
Let the length of the hypotenuse be $L$. Then $4 = L 	an(60)$ is incorrect. It should be $4 = L 	an(90-60)$ or $4 = L 	an(30)$ if 60 is the angle with the vertical.

If the angle between the plane CDPQ and the base ABCD is 60 degrees, then the angle between the normal to CDPQ and the normal to ABCD is 60 degrees.

Let's assume the setup where PQ is parallel to EF and AB. So P has y-coordinate $y_0$, Q has y-coordinate $y_0$. P=(0, $y_0$, 4), Q=(4, $y_0$, 4).
We found $y_0 = 4/\sqrt{3}$.

The distance of R(2,4,0) to the plane $- \sqrt{3}y + z = 0$ is $2\sqrt{3}$.

Let's reconsider the geometry. The distance from R to the plane CDPQ.
R is at a height of 0 from the base. The plane CDPQ is at a height of 4 from the base in the z-direction.

Consider a point X on CD. The distance of X to the plane CDPQ is 0.
Consider a point Y on PQ. The distance of Y to the plane CDPQ is 0.

The distance from R to the plane CDPQ.

Let's use a different approach. The distance of a point to a plane is the length of the perpendicular segment from the point to the plane.

Let the plane CDPQ be denoted by $\pi$. The distance $d(R, \pi)$.

R is on the base plane ABCD. The plane $\pi$ is inclined at 60 degrees to ABCD.

Let's consider a point S on $\pi$ such that RS is perpendicular to $\pi$. We want to find the length of RS.

Consider the projection of R onto the plane $\pi$. Let this projection be R'. Then $RR'$ is perpendicular to $\pi$.

Let's go back to the cross-section. Take a line segment on $\pi$ that is perpendicular to CD, and connects CD to PQ. Let this segment be XY, where X is on CD and Y is on PQ. XY is perpendicular to CD. The angle between XY and the base is 60 degrees. The length of XY in the direction perpendicular to CD is not simply 4.

Consider the height of the plane CDPQ above the base ABCD. If we take a point Y on PQ, its height above the base is 4. If we take a point X on CD, its height is 0.

Let the distance from R to the plane CDPQ be $d$.
R is at a height of 0. The plane CDPQ has points at height 0 (on CD) and height 4 (on PQ).

The distance of a point $(x_0, y_0, z_0)$ to a plane $ax+by+cz+d=0$ is $\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

We found the plane equation $- \sqrt{3}y + z = 0$ assuming PQ is parallel to AB. This implies P=(0, $4/\sqrt{3}$, 4) and Q=(4, $4/\sqrt{3}$, 4).
In this case, R=(2,4,0).
Distance = $\frac{|-\sqrt{3}(4) + 0|}{\sqrt{0+(-\sqrt{3})^2+1^2}} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

What if P and Q are chosen differently?