Diketahui persamaan elips 25x^2+9y^2=225. Tentukan titik

Titik puncak: (0, ±5), Titik fokus: (0, ±4), Sumbu Mayor: 10, Sumbu Minor: 6.

Pembahasan

Untuk menentukan titik puncak, titik fokus, panjang sumbu mayor, dan sumbu minor dari persamaan elips 25x^2+9y^2=225, pertama-tama kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar elips.

Persamaan standar elips yang berpusat di (0,0) adalah (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1.

Dari persamaan 25x^2+9y^2=225, kita bagi kedua sisi dengan 225:
(25x^2)/225 + (9y^2)/225 = 225/225
(x^2)/9 + (y^2)/25 = 1

Dari bentuk standar ini, kita dapat mengidentifikasi:
a^2 = 9  => a = 3
b^2 = 25 => b = 5

Karena nilai b lebih besar dari nilai a (b > a), maka sumbu mayor berada pada sumbu y, dan sumbu minor berada pada sumbu x.

1.  **Titik Puncak:**
    Titik puncak berada di ujung sumbu mayor. Karena sumbu mayor pada sumbu y, maka titik puncaknya adalah (0, ±b).
    Titik puncak: (0, 5) dan (0, -5).

2.  **Titik Fokus:**
    Untuk mencari titik fokus, kita perlu nilai c, di mana c^2 = |a^2 - b^2|.
    Karena sumbu mayor pada sumbu y (b > a), maka c^2 = b^2 - a^2.
    c^2 = 25 - 9 = 16
    c = sqrt(16) = 4
    Titik fokus berada pada sumbu mayor (sumbu y), yaitu (0, ±c).
    Titik fokus: (0, 4) dan (0, -4).

3.  **Panjang Sumbu Mayor:**
    Panjang sumbu mayor adalah 2b.
    Panjang sumbu mayor = 2 * 5 = 10.

4.  **Panjang Sumbu Minor:**
    Panjang sumbu minor adalah 2a.
    Panjang sumbu minor = 2 * 3 = 6.

**Ringkasan Jawaban:**
Titik puncak elips adalah (0, 5) dan (0, -5). Titik fokus elips adalah (0, 4) dan (0, -4). Panjang sumbu mayor adalah 10, dan panjang sumbu minor adalah 6.