Hitunglah nilai setiap limit berikut. lim n mendekati tak

0

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit $\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n} - \sqrt{n+a}]$, kita akan menggunakan teknik mengalikan dengan bentuk sekawan untuk menghilangkan bentuk tak tentu $\infty - \infty$.

Bentuk sekawan dari $(\sqrt{n} - \sqrt{n+a})$ adalah $(\sqrt{n} + \sqrt{n+a})$.

Kita kalikan fungsi dengan $\frac{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}}$:

$\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n} - \sqrt{n+a}] = \lim_{n \to \infty} [(\sqrt{n} - \sqrt{n+a}) \times \frac{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}}{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}}]$

Gunakan identitas $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ pada pembilang, dengan $A = \sqrt{n}$ dan $B = \sqrt{n+a}$.

Pembilang menjadi: $(\sqrt{n})^2 - (\sqrt{n+a})^2 = n - (n+a) = n - n - a = -a$.

Penyebut menjadi: $\sqrt{n} + \sqrt{n+a}$.

Sehingga, limitnya menjadi:
$\lim_{n \to \infty} \frac{-a}{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}}$

Sekarang, kita analisis perilaku penyebut saat $n \to \infty$:
*   Saat $n \to \infty$, $\sqrt{n} \to \infty$.
*   Saat $n \to \infty$, $n+a \to \infty$, sehingga $\sqrt{n+a} \to \infty$.

Jadi, penyebut $(\sqrt{n} + \sqrt{n+a}) \to \infty + \infty = \infty$.

Ketika pembilang adalah konstanta $(-a)$ dan penyebut mendekati tak hingga, nilai limitnya adalah 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{-a}{\sqrt{n} + \sqrt{n+a}} = 0$

Dengan demikian, nilai dari limit tersebut adalah 0.