Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Titik P,

1/2 * sqrt(2)

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 2.
P, Q, R, S berturut-turut adalah titik tengah EH, FG, AD, BC.
Kita perlu mencari nilai sin(a), di mana 'a' adalah sudut antara bidang PQRS dan bidang ACH.
1. Tentukan Bidang PQRS:
P adalah titik tengah EH, Q adalah titik tengah FG. Jadi, PQ sejajar dengan EF dan HG, serta PQ = 2.
R adalah titik tengah AD, S adalah titik tengah BC. Jadi, RS sejajar dengan AB dan DC, serta RS = 2.
Karena PQ sejajar AB dan RS sejajar DC, dan PQ = RS = 2, serta PS sejajar EH dan BC (PS = 2) dan QR sejajar FG dan AD (QR = 2), maka PQRS adalah persegi panjang dengan sisi 2x2.
Perhatikan bidang PQRS. P di tengah EH, Q di tengah FG, R di tengah AD, S di tengah BC. Bidang PQRS sejajar dengan bidang ABFE dan DCGH.
2. Tentukan Bidang ACH:
Bidang ACH adalah diagonal bidang kubus.
3. Cari Garis Potong:
Garis potong antara bidang PQRS dan bidang ACH adalah garis yang terletak pada kedua bidang tersebut. Titik A terletak pada bidang ACH. Titik A juga terletak pada bidang yang dibatasi oleh rusuk AD, AB, dan AE.
Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita cari garis potong kedua bidang tersebut. Namun, dalam kasus ini, lebih mudah menggunakan vektor atau proyeksi.
Cara lain: Cari garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang tersebut dari titik yang sama.
Alternatif: Perhatikan proyeksi bidang PQRS ke bidang ACH atau sebaliknya.
Misalkan kita ambil bidang ABCD sebagai bidang alas. Titik P dan Q berada di tengah rusuk EH dan FG. Titik R dan S berada di tengah rusuk AD dan BC.
Bidang PQRS sejajar dengan bidang alas ABCD dan bidang atas EFGH.
Bidang ACH adalah diagonal yang memotong kubus.
Sudut antara bidang PQRS dan ACH adalah sudut antara garis normal kedua bidang atau sudut antara garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus pada garis potongnya.
Karena PQRS sejajar ABCD, maka sudut antara PQRS dan ACH sama dengan sudut antara ABCD dan ACH.
Mari kita cari sudut antara bidang ABCD dan bidang ACH.
Garis potong kedua bidang adalah AC.
Kita perlu mencari garis pada bidang ABCD yang tegak lurus AC, dan garis pada bidang ACH yang tegak lurus AC.
Pada bidang ABCD, garis BD tegak lurus dengan AC (diagonal persegi).
Pada bidang ACH, kita perlu mencari garis dari H ke AC yang tegak lurus AC. Misalkan titik potongnya adalah O (pusat persegi ABCD). Garis HO tegak lurus AC.
Perhatikan segitiga BDA. BD = sqrt(AB^2 + AD^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).
Perhatikan segitiga ACL, di mana L adalah titik pada AC sehingga BL tegak lurus AC. Segitiga ABC siku-siku di B. Luas ABC = 1/2 * AB * BC = 1/2 * 2 * 2 = 2. Luas ABC = 1/2 * AC * BL. AC = 2*sqrt(2). Jadi, 2 = 1/2 * 2*sqrt(2) * BL => BL = 2 / sqrt(2) = sqrt(2).
Sudut antara bidang ABCD dan ACH adalah sudut antara BD dan BL. Perhatikan segitiga BDL. Ini bukan segitiga yang mudah. 
Mari gunakan proyeksi:
Proyeksi bidang PQRS ke bidang ACH. Karena PQRS sejajar ABCD, kita proyeksikan bidang ABCD ke ACH.
Proyeksi BD pada bidang ACH. Titik B diproyeksikan ke O (pusat ABCD). Titik D diproyeksikan ke O. Jadi proyeksi segmen BD pada bidang ACH adalah titik O.
Ini kurang membantu.
Mari kita gunakan definisi sudut antara bidang: sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang.
Garis potong antara bidang PQRS (yang sejajar ABCD) dan ACH adalah AC.
Garis pada bidang ABCD yang tegak lurus AC adalah BD.
Garis pada bidang ACH yang tegak lurus AC. Perhatikan segitiga ACH. AC = 2*sqrt(2). AH = sqrt(AE^2 + EH^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = 2*sqrt(2). CH = sqrt(CD^2 + DH^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = 2*sqrt(2).
Segitiga ACH adalah segitiga sama sisi dengan sisi 2*sqrt(2).
Setiap sudut dalam segitiga sama sisi adalah 60 derajat.
Ini salah, karena ACH bukan segitiga sama sisi. Diagonal bidang ACH bukan sisi kubus.
AC = 2*sqrt(2). AH = 2. CH = sqrt(CG^2 + GH^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = 2*sqrt(2).
Jadi, segitiga ACH adalah segitiga sama kaki dengan AC = CH = 2*sqrt(2) dan AH = 2.
Pada segitiga ACH, tarik garis dari H ke AC yang tegak lurus AC. Misalkan titik potongnya adalah M. O adalah titik tengah AC.
Segitiga AHO siku-siku di O. AO = OC = sqrt(2).
HO = sqrt(AH^2 - AO^2) = sqrt(2^2 - (sqrt(2))^2) = sqrt(4 - 2) = sqrt(2).
Jadi, garis HO tegak lurus AC.
Himpunan sudut antara bidang PQRS dan ACH adalah sudut antara BD dan HO.
Perhatikan penampang kubus yang memuat BD dan HO. Ini adalah bidang BDD'H (jika D' adalah D) atau bidang BDDH'. Bidang BDH.
Bidang BHD memotong bidang ABCD di BD, dan bidang ACH di H.
Sudut antara bidang PQRS (sejajar ABCD) dan ACH adalah sudut antara BD dan HO.
HO tegak lurus AC. BD tegak lurus AC.
Jadi sudut antara bidang PQRS dan ACH adalah sudut antara BD dan HO.
Perhatikan segitiga BHO. BO = sqrt(2), HO = sqrt(2). Sudut BOH = 90 derajat.
Segitiga BHO adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Sudut OBH = Sudut OHB = 45 derajat.
Jadi, sudut antara BD dan HO adalah 45 derajat.
Nilai sin(a) = sin(45) = 1/2 * sqrt(2).

Mari kita cek lagi:
Bidang PQRS sejajar ABCD.
Sudut antara PQRS dan ACH sama dengan sudut antara ABCD dan ACH.
Garis potong = AC.
Garis pada ABCD tegak lurus AC = BD.
Garis pada ACH tegak lurus AC = HO, di mana O adalah pusat ABCD.
Kita perlu sudut antara BD dan HO.
Perhatikan segitiga BDD' (jika D' adalah D) dalam penampang kubus BDD'H.
Bidang BDD'H memuat BD dan DH.
Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh B, O, H.
O adalah titik tengah AC. O juga titik tengah BD.
Segitiga BOH: BO = 1/2 * BD = 1/2 * 2*sqrt(2) = sqrt(2).
HO = sqrt(2) (seperti dihitung sebelumnya).
Sudut BOH = 90 derajat.
Segitiga BOH siku-siku di O.
Tan sudut OBH = HO/BO = sqrt(2)/sqrt(2) = 1.
Jadi sudut OBH = 45 derajat.
Sudut antara BD (garis BO) dan HO adalah sudut OHB = 45 derajat.
Jadi a = 45 derajat.
sin(a) = sin(45) = 1/2 * sqrt(2).