Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2p.

2p^2*sqrt(2).

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2p. P, Q, dan R masing-masing adalah titik tengah FB, FG, dan AD. Kita perlu mencari luas penampang irisan bidang yang melalui P, Q, dan R. 

Karena P adalah titik tengah FB, maka FP = PB = p. 
Karena Q adalah titik tengah FG, maka FQ = QG = p. 
Karena R adalah titik tengah AD, maka AR = RD = p. 

Bidang yang melalui P, Q, dan R akan memotong rusuk-rusuk kubus. 

Perhatikan segitiga siku-siku FPG pada bidang BCGF. FP = p, FQ = p. Maka PQ = sqrt(FP^2 + FQ^2) = sqrt(p^2 + p^2) = sqrt(2p^2) = p*sqrt(2).

Perhatikan bidang ADHE. Rusuk AD = 2p. R adalah titik tengah AD, sehingga AR = p.

Bidang irisan yang melalui P, Q, R akan membentuk sebuah penampang. Kita perlu menentukan bentuk penampang tersebut. 

Titik P berada pada rusuk FB, titik Q pada FG, dan titik R pada AD. 

Jika kita membuat bidang yang melalui P dan sejajar dengan bidang EFGH, maka bidang tersebut akan memotong FG di Q (karena Q adalah titik tengah FG). 

Jika kita membuat bidang yang melalui R dan sejajar dengan bidang ABFE, maka bidang tersebut akan memotong AD di R.

Bidang PQR akan memotong rusuk AE di sebuah titik S. Karena P adalah titik tengah FB, dan bidang PQR sejajar dengan bidang alas (ABCD), maka S akan menjadi titik tengah AE. Dengan demikian, AS = SE = p.

Bidang PQR akan memotong rusuk DH di sebuah titik T. Karena Q adalah titik tengah FG, dan bidang PQR sejajar dengan bidang alas (ABCD), maka T akan menjadi titik tengah DH. Dengan demikian, DT = TH = p.

Bidang irisan PQR akan membentuk sebuah persegi panjang PQTS.
Panjang PQ = p*sqrt(2) (seperti dihitung sebelumnya).
Panjang PT. Perhatikan segitiga siku-siku PFT. PF = p. FT = FG + GT = 2p + p = 3p. Ini salah karena T bukan pada DH. 

Mari kita tinjau kembali. Bidang PQR. P di tengah FB, Q di tengah FG, R di tengah AD.

Karena R di AD dan P di FB, dan PQ sejajar DB, maka bidang PQR akan sejajar dengan bidang DBFH.

Bidang DBFH adalah persegi panjang dengan sisi DB = p*sqrt(2) (diagonal alas) dan BF = 2p. Luas DBFH = 2p * p*sqrt(2) = 2p^2*sqrt(2).

Karena P, Q, R adalah titik tengah rusuk, maka bidang irisan yang melalui P, Q, R akan sejajar dengan bidang diagonal kubus yang dibentuk oleh dua diagonal sisi yang berhadapan. 

Dalam kasus ini, P di tengah FB, Q di tengah FG, R di tengah AD.

Bidang yang melalui P, Q akan sejajar dengan bidang ACGE.
Bidang yang melalui R akan sejajar dengan bidang ABFE.

Bidang PQR akan memotong rusuk AE di titik S (titik tengah AE) dan rusuk CG di titik T (titik tengah CG).

Perhatikan bidang BCGF. P adalah titik tengah FB, Q adalah titik tengah FG. PQ = p*sqrt(2).
Perhatikan bidang ADHE. R adalah titik tengah AD. S adalah titik tengah AE. RS = p*sqrt(2).
Perhatikan bidang ABFE. P adalah titik tengah FB. R adalah titik tengah AD. PS sejajar AB dan EF. Panjang PS = AB = 2p.
Perhatikan bidang DCGH. Q adalah titik tengah FG. T adalah titik tengah CG. QT sejajar DC dan HG. Panjang QT = DC = 2p.

Jadi, penampang irisan PQRST adalah sebuah persegi panjang dengan panjang 2p dan lebar p*sqrt(2). 

Luas penampang = panjang * lebar = 2p * p*sqrt(2) = 2p^2*sqrt(2).