Diberikan matriks A=(1 1 -1 1 -1 2) dan B=(7 0 -7) . Jika

11/2

Pembahasan

Diberikan matriks A=(1 1 -1; 1 -1 2) dan B=(7; 0; -7). Persamaan yang diberikan adalah A^T AX = A^T B.

Langkah 1: Transpose matriks A (A^T).
Jika A = [[1, 1, -1], [1, -1, 2]], maka A^T = [[1, 1], [1, -1], [-1, 2]].

Langkah 2: Hitung A^T A.
A^T A = [[1, 1], [1, -1], [-1, 2]] * [[1, 1, -1], [1, -1, 2]]
       = [[(1*1)+(1*1)+(-1*-1), (1*1)+(1*-1)+(-1*2)], [(1*1)+(-1*1)+(2*-1), (1*1)+(-1*-1)+(2*2)]]
       = [[1+1+1, 1-1-2], [1-1-2, 1+1+4]]
       = [[3, -2], [-2, 6]]

Langkah 3: Hitung A^T B.
A^T B = [[1, 1], [1, -1], [-1, 2]] * [[7], [0], [-7]]
       = [[(1*7)+(1*0)+(-1*-7)], [(1*7)+(-1*0)+(2*-7)]]
       = [[7+0+7], [7+0-14]]
       = [[14], [-7]]

Langkah 4: Selesaikan persamaan (A^T A) X = A^T B.
Misalkan X = [[x1], [x2]].
[[3, -2], [-2, 6]] * [[x1], [x2]] = [[14], [-7]]

Ini menghasilkan sistem persamaan linear:
3x1 - 2x2 = 14  ...(1)
-2x1 + 6x2 = -7  ...(2)

Langkah 5: Selesaikan sistem persamaan linear untuk x1 dan x2.
Kalikan persamaan (1) dengan 3:
9x1 - 6x2 = 42  ...(3)

Tambahkan persamaan (2) dan (3):
(-2x1 + 6x2) + (9x1 - 6x2) = -7 + 42
7x1 = 35
x1 = 5

Substitusikan x1 = 5 ke persamaan (1):
3(5) - 2x2 = 14
15 - 2x2 = 14
-2x2 = 14 - 15
-2x2 = -1
x2 = 1/2

Jadi, matriks X = [[5], [1/2]].

Langkah 6: Hitung jumlah semua entri dari matriks X.
Jumlah entri = x1 + x2 = 5 + 1/2 = 5.5 atau 11/2.

Jadi, jumlah semua entri dari matriks X adalah 11/2.