Diberikan sebuah fungsi f berikut f(x)=(|x|(2x - 3))/(x^2 -

Pernyataan yang benar adalah 2, 4, dan 5.

Pembahasan

Untuk menentukan pernyataan yang benar mengenai asimtot fungsi f(x) = (|x|(2x - 3))/(x^2 - 3x), kita perlu menganalisis fungsi tersebut.

Pertama, kita faktorkan penyebutnya: x^2 - 3x = x(x - 3).
Jadi, f(x) = (|x|(2x - 3))/(x(x - 3)).

Domain fungsi ini adalah semua bilangan real kecuali nilai-nilai x yang membuat penyebut nol, yaitu x = 0 dan x = 3. Jadi, domainnya adalah x ≠ 0 dan x ≠ 3.

Asimtot Tegak:
Asimtot tegak terjadi pada nilai x yang membuat penyebut nol setelah penyederhanaan fungsi, atau pada batas domain yang tidak terdefinisi.

Kita perlu mempertimbangkan dua kasus untuk |x|:
Kasus 1: x > 0, maka |x| = x.
   f(x) = (x(2x - 3))/(x(x - 3)) = (2x - 3)/(x - 3)
   Pada kasus ini, penyebut menjadi nol ketika x = 3. Karena kita mengasumsikan x > 0, maka x = 3 adalah asimtot tegak.

Kasus 2: x < 0, maka |x| = -x.
   f(x) = (-x(2x - 3))/(x(x - 3)) = -(2x - 3)/(x - 3)
   Pada kasus ini, penyebut menjadi nol ketika x = 3. Namun, kita mengasumsikan x < 0, sehingga x = 3 bukan asimtot tegak untuk kasus ini. Namun, kita perlu memeriksa perilaku fungsi saat x mendekati 0 dari sisi negatif.
   Limit saat x → 0⁻: f(x) = -(2x - 3)/(x - 3) → -(-3)/(-3) = -1. Ini bukan asimtot tegak.
   Perhatikan bahwa di x=0, ada faktor x di penyebut yang tidak tereliminasi sepenuhnya oleh |x| di pembilang jika kita tidak hati-hati.
   Mari kita periksa kembali domainnya. x tidak boleh 0 atau 3.
   Untuk x mendekati 0:
   Jika x → 0⁺, f(x) = (x(2x - 3))/(x(x - 3)) = (2x - 3)/(x - 3) → (-3)/(-3) = 1.
   Jika x → 0⁻, f(x) = (-x(2x - 3))/(x(x - 3)) = -(2x - 3)/(x - 3) → -(-3)/(-3) = -1.
   Karena limitnya bukan tak hingga, maka x = 0 bukan asimtot tegak.

Sekarang periksa x = 3:
Jika x → 3⁺ (dari sisi positif), f(x) = (2x - 3)/(x - 3) → (2*3 - 3)/(3⁺ - 3) = (3)/(0⁺) → +∞.
Jika x → 3⁻ (dari sisi negatif), f(x) = (2x - 3)/(x - 3) → (2*3 - 3)/(3⁻ - 3) = (3)/(0⁻) → -∞.
Karena limitnya adalah tak hingga, maka x = 3 adalah asimtot tegak.

Asimtot Datar:
Asimtot datar ditentukan oleh limit fungsi saat x mendekati tak hingga (∞) atau minus tak hingga (-∞).

Untuk x → ∞ (x positif, jadi |x| = x):
lim (x→∞) f(x) = lim (x→∞) (x(2x - 3))/(x(x - 3)) = lim (x→∞) (2x - 3)/(x - 3)
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim (x→∞) (2 - 3/x)/(1 - 3/x) = (2 - 0)/(1 - 0) = 2.
Jadi, y = 2 adalah asimtot datar untuk x → ∞.

Untuk x → -∞ (x negatif, jadi |x| = -x):
lim (x→-∞) f(x) = lim (x→-∞) (-x(2x - 3))/(x(x - 3)) = lim (x→-∞) -(2x - 3)/(x - 3)
Bagi pembilang dan penyebut dengan x:
lim (x→-∞) -(2 - 3/x)/(1 - 3/x) = -(2 - 0)/(1 - 0) = -2.
Jadi, y = -2 adalah asimtot datar untuk x → -∞.

Sekarang kita evaluasi pernyataan:
1. Garis x = 0 merupakan asimtot tegak fungsi f(x). SALAH (limit x->0 bukan tak hingga).
2. Garis x = 3 merupakan asimtot tegak fungsi f(x). BENAR.
3. Garis x = -3 merupakan asimtot tegak fungsi f(x). SALAH (tidak ada pembagian dengan nol di x=-3).
4. Garis y = 2 merupakan asimtot datar fungsi f(x). BENAR (untuk x -> ∞).
5. Garis y = -2 merupakan asimtot datar fungsi f(x). BENAR (untuk x -> -∞).

Pernyataan yang benar adalah 2, 4, dan 5.