Diberikan sebuah fungsi g(x)=2cos x sin x. Tentukan daerah

Monoton naik pada $(-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi)$ dan monoton turun pada $(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi)$

Pembahasan

Untuk menentukan daerah di mana fungsi $g(x) = 2 \cos x \sin x$ monoton naik dan turun, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, yaitu $g'(x)$. Menggunakan identitas trigonometri $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, maka fungsi $g(x)$ dapat ditulis ulang sebagai $g(x) = \sin(2x)$.

Turunan pertama dari $g(x)$ adalah $g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(2x))$. Dengan menggunakan aturan rantai, kita mendapatkan $g'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos(2x)$.

Fungsi $g(x)$ monoton naik ketika $g'(x) > 0$, yaitu $2 \cos(2x) > 0$, atau $\cos(2x) > 0$. Kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV. Maka, $2x$ berada dalam interval $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat. Membagi dengan 2, kita mendapatkan $-\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Fungsi $g(x)$ monoton turun ketika $g'(x) < 0$, yaitu $2 \cos(2x) < 0$, atau $\cos(2x) < 0$. Kosinus bernilai negatif di kuadran II dan III. Maka, $2x$ berada dalam interval $\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat. Membagi dengan 2, kita mendapatkan $\frac{\pi}{4} + k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + k\pi$.

Jadi, fungsi $g(x)$ monoton naik pada interval $(-\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{4} + k\pi)$ dan monoton turun pada interval $(\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{4} + k\pi)$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.