Didefinisikan fungsi f(x)=ax^2+b x+c (dikenal sebagai

a) a=2, b=1, c=-3. b) Tidak mungkin ada parabola lain melalui tiga titik yang tidak segaris.

Pembahasan

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax^2 + bx + c yang melalui tiga titik: (-1, -2), (1, 0), dan (2, 7).

a) Menentukan nilai a, b, dan c:
Kita substitusikan setiap titik ke dalam persamaan fungsi f(x) untuk mendapatkan sistem persamaan linear:

Untuk titik (-1, -2):
f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = -2
       a - b + c = -2  (Persamaan 1)

Untuk titik (1, 0):
f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0
      a + b + c = 0   (Persamaan 2)

Untuk titik (2, 7):
f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 7
      4a + 2b + c = 7  (Persamaan 3)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan ini:
Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - (-2)
2b = 2
b = 1

Substitusikan b = 1 ke Persamaan 1 dan Persamaan 2:
Dari Persamaan 2: a + 1 + c = 0  => a + c = -1 (Persamaan 4)
Dari Persamaan 1: a - 1 + c = -2  => a + c = -1 (Konsisten)

Substitusikan b = 1 ke Persamaan 3:
4a + 2(1) + c = 7
4a + 2 + c = 7
4a + c = 5 (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem dua persamaan dengan dua variabel (a dan c):
Persamaan 4: a + c = -1
Persamaan 5: 4a + c = 5

Kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5:
(4a + c) - (a + c) = 5 - (-1)
3a = 6
a = 2

Substitusikan a = 2 ke Persamaan 4:
2 + c = -1
c = -3

Jadi, nilai a = 2, b = 1, dan c = -3. Persamaan fungsinya adalah f(x) = 2x^2 + x - 3.

b) Memilih tiga titik dan kemungkinan persamaan parabola lain:
Kita sudah diberikan tiga titik yang memenuhi: (-1, -2), (1, 0), dan (2, 7). Jika kita memilih tiga titik ini, maka persamaan parabola yang memenuhi adalah f(x) = 2x^2 + x - 3.

Mungkinkah ada persamaan parabola yang lain dan melalui ketiga titik tersebut?
Tidak mungkin ada persamaan parabola yang lain yang melalui ketiga titik yang sama, asalkan ketiga titik tersebut tidak segaris (kolinear) dan tidak ada dua titik yang memiliki nilai x yang sama. Secara geometris, tiga titik yang tidak segaris menentukan sebuah parabola secara unik. Ini karena derajat tertinggi dari polinomial yang dibutuhkan untuk menghubungkan n titik adalah n-1. Dalam kasus ini, dengan 3 titik, kita membutuhkan polinomial derajat 2 (parabola).

Alasan:
Sebuah fungsi kuadrat (parabola) ditentukan oleh tiga konstanta (a, b, c). Setiap titik yang dilalui oleh parabola memberikan satu persamaan linear dalam bentuk a, b, dan c. Dengan tiga titik, kita mendapatkan sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Jika sistem persamaan ini memiliki solusi yang unik (yang terjadi jika titik-titik tersebut tidak segaris), maka hanya ada satu set nilai a, b, dan c yang mungkin, sehingga hanya ada satu parabola yang bisa melalui ketiga titik tersebut.