Diketahui 0<=a<=1/2 pi dan 0<=b<=1/2 pi. Jika sin a-sin

√3 / 2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri.
Diketahui:
sin a - sin b = 3/5
cos a + cos b = 4/5

Kita tahu bahwa:
sin a - sin b = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)
cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)

Maka:
2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2) = 3/5  (Persamaan 1)
2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) = 4/5  (Persamaan 2)

Bagi Persamaan 1 dengan Persamaan 2:
(2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)) / (2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)) = (3/5) / (4/5)
tan((a-b)/2) = 3/4

Kuadratkan kedua persamaan:
(sin a - sin b)² = (3/5)² => sin²a - 2sin a sin b + sin²b = 9/25
(cos a + cos b)² = (4/5)² => cos²a + 2cos a cos b + cos²b = 16/25

Jumlahkan kedua hasil kuadrat:
(sin²a + cos²a) + (sin²b + cos²b) - 2sin a sin b + 2cos a cos b = 9/25 + 16/25
1 + 1 + 2(cos a cos b - sin a sin b) = 25/25
2 + 2 cos(a+b) = 1
2 cos(a+b) = 1 - 2
2 cos(a+b) = -1
cos(a+b) = -1/2

Sekarang kita gunakan identitas sin²(a+b) + cos²(a+b) = 1
sin²(a+b) + (-1/2)² = 1
sin²(a+b) + 1/4 = 1
sin²(a+b) = 1 - 1/4
sin²(a+b) = 3/4
sin(a+b) = ±√(3/4)
sin(a+b) = ±√3 / 2

Karena 0<=a<=1/2 pi dan 0<=b<=1/2 pi, maka 0 <= a+b <= pi. Dalam rentang ini, sin(a+b) positif. Namun, dari hasil cos(a+b) = -1/2, kita tahu bahwa a+b berada di kuadran II (antara π/2 dan π), di mana nilai sinus memang positif. Sehingga nilai sin(a+b) yang memenuhi adalah √3/2.

Jadi, sin(a+b) = √3 / 2.