Hitunglah limit dari fungsi-fungsi berikut! lim x-> tak

-6

Pembahasan

Untuk menghitung limit fungsi tersebut saat x mendekati tak hingga, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam limit.

Limit x-> tak hingga (akar(x^2-2x+1)-akar(x^2+10x+2))/x

Pertama, kita perhatikan bentuk akar di pembilang. Akar(x^2-2x+1) adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (x-1)^2. Jadi, akar(x^2-2x+1) = |x-1|. Karena x mendekati tak hingga (positif besar), maka |x-1| = x-1.

Limit x-> tak hingga ((x-1) - akar(x^2+10x+2))/x

Sekarang, kita kalikan dengan bentuk sekawan dari pembilang untuk menghilangkan akar:
Bentuk sekawan dari ((x-1) - akar(x^2+10x+2)) adalah ((x-1) + akar(x^2+10x+2)).

[(x-1) - akar(x^2+10x+2)] * [(x-1) + akar(x^2+10x+2)] = (x-1)^2 - (x^2+10x+2)
= (x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 10x + 2)
= x^2 - 2x + 1 - x^2 - 10x - 2
= -12x - 1

Sekarang kita masukkan kembali ke dalam limit, dengan mengalikan penyebut juga dengan bentuk sekawan:

Limit x-> tak hingga (-12x - 1) / [x * ((x-1) + akar(x^2+10x+2))]

Untuk menyederhanakan lebih lanjut, bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.

Di penyebut: x * [(x-1) + akar(x^2+10x+2)]
Bagi dengan x: (x-1) + akar(x^2+10x+2)
Untuk akar(x^2+10x+2), kita bagi dengan x^2 di dalam akar:
akar((x^2+10x+2)/x^2) = akar(1 + 10/x + 2/x^2)

Jadi, ekspresi di penyebut setelah dibagi x menjadi:
(x/x - 1/x) + akar(1 + 10/x + 2/x^2)
= (1 - 1/x) + akar(1 + 10/x + 2/x^2)

Sekarang kita terapkan limit x-> tak hingga:

Limit x-> tak hingga (-12x - 1) / [x * ((x-1) + akar(x^2+10x+2))]

Bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Pembilang: (-12x/x - 1/x) = -12 - 1/x
Penyebut: [(x-1)/x + akar(x^2+10x+2)/x]
= (1 - 1/x) + akar((x^2+10x+2)/x^2)
= (1 - 1/x) + akar(1 + 10/x + 2/x^2)

Sekarang terapkan limit x -> tak hingga:

Pembilang: -12 - 0 = -12
Penyebut: (1 - 0) + akar(1 + 0 + 0) = 1 + akar(1) = 1 + 1 = 2

Jadi, limitnya adalah -12 / 2 = -6.

Jawaban: -6