Diketahui suku ke- p , suku ke- q , dan suku ke- r dari

Rasio barisan geometri yang terbentuk dari suku ke-p, q, dan r dari barisan aritmetika adalah (q-r)/(p-q).

Pembahasan

Diketahui suku ke-p, suku ke-q, dan suku ke-r dari barisan aritmetika adalah $U_p$, $U_q$, dan $U_r$. Diketahui juga bahwa $U_p$, $U_q$, dan $U_r$ membentuk barisan geometri. 

Dalam barisan aritmetika, suku ke-n dapat dinyatakan sebagai $U_n = a + (n-1)b$, di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda.

Maka:
$U_p = a + (p-1)b$
$U_q = a + (q-1)b$
$U_r = a + (r-1)b$

Karena $U_p$, $U_q$, dan $U_r$ membentuk barisan geometri, maka berlaku:
$(\frac{U_q}{U_p}) = (\frac{U_r}{U_q})$
$U_q^2 = U_p 	imes U_r$

Substitusikan bentuk $U_n$ ke dalam persamaan:
$(a + (q-1)b)^2 = (a + (p-1)b)(a + (r-1)b)$

Kita ingin membuktikan bahwa rasio (rasio) dari barisan geometri tersebut adalah $\frac{q-r}{p-q}$. Rasio barisan geometri adalah $\frac{U_q}{U_p}$.

Mari kita manipulasi persamaan rasio:
$\frac{U_q}{U_p} = \frac{a + (q-1)b}{a + (p-1)b}$
$\frac{U_r}{U_q} = \frac{a + (r-1)b}{a + (q-1)b}$

Karena $\frac{U_q}{U_p} = \frac{U_r}{U_q}$, maka:
$\frac{a + (q-1)b}{a + (p-1)b} = \frac{a + (r-1)b}{a + (q-1)b}$
$(a + (q-1)b)^2 = (a + (p-1)b)(a + (r-1)b)$
$a^2 + 2a(q-1)b + (q-1)^2 b^2 = a^2 + a(r-1)b + a(p-1)b + (p-1)(r-1)b^2$
$2a(q-1)b + (q-1)^2 b^2 = a((p-1) + (r-1))b + (p-1)(r-1)b^2$
$2a(q-1)b + (q-1)^2 b^2 = a(p+r-2)b + (pr - p - r + 1)b^2$

Untuk membuktikan rasio = $\frac{q-r}{p-q}$, kita perlu menunjukkan bahwa:
$\frac{a + (q-1)b}{a + (p-1)b} = \frac{q-r}{p-q}$
$(a + (q-1)b)(p-q) = (a + (p-1)b)(q-r)$
ap - aq + pqb - q^2b + qb - b = aq - ar + pqb - prb + qb - rb$
ap - aq + pqb - q^2b + qb - b = aq - ar + pqb - prb + qb - rb$
ap - aq - q^2b - b = aq - ar - prb - rb$
ap - 2aq + ar + prb + rb - q^2b - b = 0$
$a(p - 2q + r) + b(pr + r - q^2 - 1) = 0$

Ini adalah pembuktian yang kompleks dan memerlukan asumsi tambahan atau penyederhanaan. Namun, jika kita langsung menggunakan sifat barisan geometri, rasio (rasio) adalah $k = \frac{U_q}{U_p}$.

Jika kita memiliki $U_p, U_q, U_r$ membentuk barisan geometri dengan rasio $k$, maka $U_q = U_p 	imes k$ dan $U_r = U_q 	imes k = U_p 	imes k^2$.

Dalam barisan aritmatika, kita tahu bahwa:
$U_q - U_p = (q-p)b$
$U_r - U_q = (r-q)b$

Jadi, $k = \frac{U_q}{U_p}$ dan $k = \frac{U_r}{U_q}$.

Kita perlu membuktikan bahwa $k = \frac{q-r}{p-q}$. Ini tampaknya merupakan pernyataan yang salah atau memerlukan kondisi khusus. Rasio barisan geometri dibentuk dari perbandingan suku-suku barisan geometri itu sendiri, bukan dari indeks suku barisan aritmatikanya secara langsung dalam bentuk $\frac{q-r}{p-q}$.

Misalkan rasio barisan geometri adalah $k$. Maka $U_q = U_p 	imes k$ dan $U_r = U_q 	imes k$. 
Dari barisan aritmatika:
$U_q - U_p = (q-p)b 
ightarrow U_p k - U_p = (q-p)b 
ightarrow U_p (k-1) = (q-p)b$ (1)
$U_r - U_q = (r-q)b 
ightarrow U_q k - U_q = (r-q)b 
ightarrow U_q (k-1) = (r-q)b$ (2)

Bagi persamaan (2) dengan (1):
$\frac{U_q(k-1)}{U_p(k-1)} = \frac{(r-q)b}{(q-p)b}$
$\frac{U_q}{U_p} = \frac{r-q}{q-p}$
$k = \frac{r-q}{q-p}$

Kita perlu membuktikan bahwa rasio $k = \frac{q-r}{p-q}$. Ini berarti $\frac{r-q}{q-p} = \frac{q-r}{p-q}$.
Ini benar karena $\frac{r-q}{q-p} = \frac{-(q-r)}{-(p-q)} = \frac{q-r}{p-q}$.

Jadi, rasio barisan geometri tersebut memang sama dengan $\frac{q-r}{p-q}$.