tentukan daerah himpunan penyelesaian dari setiap sistem

Daerah himpunan penyelesaian adalah irisan area di bawah parabola $y = x^2 - x - 6$ dan di atas garis $y = -x - 2$.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $x^2 - x - 6 > y$ dan $-x - 2 < y$ menggunakan metode grafik, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan:**
    *   $x^2 - x - 6 = y$
    *   $-x - 2 = y$

2.  **Gambar grafik dari setiap persamaan:**
    *   Untuk $y = x^2 - x - 6$: Ini adalah persamaan parabola. Kita bisa mencari titik potong sumbu-x dengan mengatur $y=0$, sehingga $x^2 - x - 6 = 0$. Faktorkan menjadi $(x-3)(x+2) = 0$, sehingga titik potongnya adalah $x=3$ dan $x=-2$. Titik potong sumbu-y didapat saat $x=0$, yaitu $y=-6$. Puncak parabola dapat ditemukan dengan rumus $x = -b/(2a) = -(-1)/(2*1) = 1/2$. Maka $y = (1/2)^2 - (1/2) - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = -1/4 - 24/4 = -25/4$. Jadi, puncaknya adalah $(1/2, -25/4)$.
    *   Untuk $y = -x - 2$: Ini adalah persamaan garis lurus. Titik potong sumbu-x didapat saat $y=0$, yaitu $0 = -x - 2$, sehingga $x=-2$. Titik potong sumbu-y didapat saat $x=0$, yaitu $y=-2$. Gradien garis ini adalah -1.

3.  **Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan:**
    *   Untuk $x^2 - x - 6 > y$ (atau $y < x^2 - x - 6$): Daerah penyelesaiannya adalah area di bawah grafik parabola $y = x^2 - x - 6$. Kita bisa menguji titik, misalnya (0,0). $0^2 - 0 - 6 = -6$. Karena $-6 < 0$ (pernyataan $0 > -6$ salah), maka daerah penyelesaiannya adalah area yang TIDAK mengandung titik (0,0), yaitu di bawah parabola.
    *   Untuk $-x - 2 < y$ (atau $y > -x - 2$): Daerah penyelesaiannya adalah area di atas grafik garis $y = -x - 2$. Uji titik (0,0). $-0 - 2 = -2$. Karena $-2 < 0$ (pernyataan $0 > -2$ benar), maka daerah penyelesaiannya adalah area yang mengandung titik (0,0), yaitu di atas garis.

4.  **Arsir daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan:** Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah irisan dari daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan tersebut. Ini adalah area yang berada di bawah parabola $y = x^2 - x - 6$ DAN di atas garis $y = -x - 2$.