limit x->0 (6+x^2-3x^3)/(3x-x^2)= ....

Limit tidak ada

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan substitusi langsung nilai x yang mendekati 0 ke dalam fungsi.

Diketahui: limit x->0 (6+x^2-3x^3)/(3x-x^2)

Langkah 1: Substitusi x = 0 ke dalam pembilang.
Pembilang = 6 + (0)^2 - 3(0)^3 = 6 + 0 - 0 = 6

Langkah 2: Substitusi x = 0 ke dalam penyebut.
Penyebut = 3(0) - (0)^2 = 0 - 0 = 0

Karena hasil substitusi menghasilkan bentuk 6/0, ini menunjukkan bahwa limitnya adalah tak hingga (atau negatif tak hingga).
Untuk menentukan tanda tak hingganya, kita perlu melihat perilaku penyebut saat x mendekati 0 dari sisi positif dan negatif.

Penyebut = 3x - x^2 = x(3 - x)

Saat x mendekati 0 dari sisi positif (x -> 0+):
x positif, (3-x) positif. Maka x(3-x) positif.
Limit = 6 / (0+) = +∞

Saat x mendekati 0 dari sisi negatif (x -> 0-):
x negatif, (3-x) positif. Maka x(3-x) negatif.
Limit = 6 / (0-) = -∞

Karena limit dari sisi positif dan negatif berbeda, maka limitnya tidak ada. Namun, dalam konteks soal kalkulus, ketika pembilang menuju konstanta positif dan penyebut menuju 0, seringkali jawabannya dianggap sebagai tak hingga.

Jika kita melihat soalnya lebih cermat, terkadang ada cara untuk menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu jika terjadi bentuk tak tentu 0/0. Namun, di sini kita mendapatkan bentuk konstanta/0.

Dalam beberapa konteks, jika penyebut mendekati nol tetapi pembilang tidak, maka limitnya adalah $\infty$ atau $-\infty$.

Untuk memastikan, mari kita faktorkan penyebut:
limit x->0 (6+x^2-3x^3)/(x(3-x))

Ketika x mendekati 0, pembilang mendekati 6.
Penyebut mendekati 0.

Jika kita melihat limit dari sisi kanan (x mendekati 0 dari nilai positif):
Nilai pembilang positif (mendekati 6).
Nilai penyebut positif (karena x positif dan 3-x positif).
Jadi, limitnya adalah +∞.

Jika kita melihat limit dari sisi kiri (x mendekati 0 dari nilai negatif):
Nilai pembilang positif (mendekati 6).
Nilai penyebut negatif (karena x negatif dan 3-x positif).
Jadi, limitnya adalah -∞.

Karena limit dari kedua sisi tidak sama, maka limitnya tidak ada. Namun, jika pertanyaan mengizinkan jawaban tak hingga, maka kita perlu lebih spesifik.

Dalam banyak kasus ujian, jika terjadi bentuk K/0 (dengan K bukan 0), jawabannya adalah tidak ada atau tak hingga. Jika ditanya nilai spesifik, maka tidak ada.

Mari kita periksa kembali soalnya.
limit x->0 (6+x^2-3x^3)/(3x-x^2)

Substitusi x=0: (6+0-0)/(0-0) = 6/0

Ini adalah kasus limit tak hingga. Tergantung pada konteks, jawabannya bisa DNE (Does Not Exist) atau $\infty$ atau $-\infty$.

Jika kita diminta untuk menentukan nilai limit:
Karena limit dari sisi kiri (-∞) tidak sama dengan limit dari sisi kanan (+∞), maka limitnya tidak ada.

Namun, jika pertanyaan mengharapkan jawaban berupa tak hingga, kita perlu melihat konteksnya.

Jika kita melihat penyebutnya $x(3-x)$.
Untuk $x 	o 0^+$, $x(3-x) > 0$.
Untuk $x 	o 0^-$, $x(3-x) < 0$.

Jadi, $\lim_{x \to 0^+} \frac{6+x^2-3x^3}{3x-x^2} = \frac{6}{0^+} = +\infty$
$\lim_{x \to 0^-} \frac{6+x^2-3x^3}{3x-x^2} = \frac{6}{0^-} = -\infty$

Karena kedua limit tidak sama, maka $\lim_{x \to 0} \frac{6+x^2-3x^3}{3x-x^2}$ tidak ada.

Namun, seringkali dalam soal kalkulus dasar, jika pembilang menuju konstanta positif dan penyebut menuju nol, jawabannya dianggap tak hingga jika tidak diminta spesifik sisi kanan/kiri.

Jawaban yang paling tepat adalah limit tidak ada karena limit kiri dan kanan berbeda.