Diketahui a=<1,-2,-1>, b=<-3,2,-1) , Hitunglah: a. a x b b.

a. a x b = <4, 4, -4>; b. a x b x a = <-12, 0, -12>

Pembahasan

Kita diberikan dua vektor:
a = <1, -2, -1>
b = <-3, 2, -1>

a. Menghitung hasil perkalian silang (cross product) a x b:
Perkalian silang dua vektor a = <a1, a2, a3> dan b = <b1, b2, b3> dihitung menggunakan determinan matriks:

a x b = |	i  	j  	k |
        | a1 a2 a3 |
        | b1 b2 b3 |

a x b = |	i   	j   	k |
        | 1  -2  -1 |
        | -3  2  -1 |

a x b = i((-2)(-1) - (-1)(2)) - j((1)(-1) - (-1)(-3)) + k((1)(2) - (-2)(-3))
a x b = i(2 - (-2)) - j(-1 - 3) + k(2 - 6)
a x b = i(2 + 2) - j(-4) + k(-4)
a x b = 4i + 4j - 4k
Jadi, a x b = <4, 4, -4>.

b. Menghitung hasil perkalian silang a x b x a:
Perkalian silang bersifat anti-komutatif, yang berarti a x b = -(b x a).
Selain itu, perkalian silang antara suatu vektor dengan dirinya sendiri selalu menghasilkan vektor nol (0).
Dalam kasus ini, kita menghitung (a x b) x a. Hasil dari a x b adalah vektor <4, 4, -4>. 

Kita perlu menghitung <4, 4, -4> x <1, -2, -1>.

Misalkan v = a x b = <4, 4, -4>
Kita hitung v x a:

v x a = |	i    	j    	k |
        | 4    4    -4 |
        | 1   -2    -1 |

v x a = i((4)(-1) - (-4)(-2)) - j((4)(-1) - (-4)(1)) + k((4)(-2) - (4)(1))
v x a = i(-4 - 8) - j(-4 - (-4)) + k(-8 - 4)
v x a = i(-12) - j(-4 + 4) + k(-12)
v x a = -12i - 0j - 12k
Jadi, a x b x a = <-12, 0, -12>.

Sebagai catatan tambahan, jika pertanyaannya adalah membuktikan bahwa a x b x a = 0, maka itu akan salah karena urutan perkalian silang penting. Jika pertanyaannya adalah a * (b x a), maka hasilnya adalah 0 karena b x a tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh b dan a, sehingga dot product dengan a adalah 0.