Diketahui A=(1 2 3 2) dan B=(a b 2 1) serta A^(T) .

562.5

Pembahasan

Diketahui matriks:
A = [[1, 2, 3, 2]]
B = [[a, b, 2, 1]]

Transpos dari matriks A (A^T) dan B (B^T) adalah:
A^T = [[1], [2], [3], [2]]
B^T = [[a], [b], [2], [1]]

Diketahui hasil perkalian A^T . B^T:
A^T . B^T = [[1], [2], [3], [2]] * [[a], [b], [2], [1]] = [[15], [5], [14], [6]]

Perkalian matriks A^T . B^T dilakukan dengan mengalikan setiap elemen baris pertama A^T dengan setiap elemen kolom pertama B^T, dan seterusnya. Namun, karena A^T dan B^T adalah matriks kolom, perkalian A^T . B^T sebenarnya adalah perkalian dot product dari vektor yang sama jika kita menganggapnya sebagai vektor kolom.

Namun, format soal A^T . B^T = [[15], [5], [14], [6]] menyiratkan bahwa ini adalah hasil dari perkalian matriks yang menghasilkan matriks kolom. Dalam konteks ini, perkalian dua matriks kolom seperti ini tidak umum didefinisikan untuk menghasilkan matriks kolom dengan banyak baris seperti itu kecuali jika ada operasi lain yang tersirat atau jika A^T dan B^T seharusnya adalah vektor baris.

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan dan seharusnya adalah perkalian elemen-per-elemen dari vektor baris, atau perkalian matriks dengan dimensi yang berbeda.

Jika kita menginterpretasikan hasil [[15], [5], [14], [6]] sebagai hasil dari operasi elemen-wise (perkalian Hadamard) dari dua vektor kolom yang sama atau perkalian matriks yang sesuai, maka:

Untuk A^T . B^T = [[15], [5], [14], [6]]:
Elemen pertama: 1 * a = 15  => a = 15
Elemen kedua: 2 * b = 5   => b = 5/2
Elemen ketiga: 3 * 2 = 6   => Ini tidak sesuai dengan 14 di hasil.
Elemen keempat: 2 * 1 = 2  => Ini tidak sesuai dengan 6 di hasil.

Interpretasi ini tidak cocok. Mari kita coba interpretasi lain.

Kemungkinan lain, A dan B adalah matriks baris, dan A^T dan B^T adalah transposnya (matriks kolom), dan yang dimaksud adalah perkalian matriks standar.

Namun, jika kita menganggap A dan B sebagai matriks dengan satu baris dan empat kolom, maka A^T dan B^T adalah matriks dengan empat baris dan satu kolom.

Perkalian A^T . B^T menghasilkan matriks 4x1. Hasil yang diberikan adalah matriks 4x1. Maka, perkalian yang terjadi adalah:

A^T = 
[1]
[2]
[3]
[2]

B^T = 
[a]
[b]
[2]
[1]

Perkalian A^T * B^T tidak didefinisikan dalam aljabar matriks standar jika keduanya adalah matriks kolom, karena jumlah kolom pertama (1) tidak sama dengan jumlah baris kedua (4).

Namun, jika yang dimaksud adalah perkalian A * B^T, atau A^T * B, atau jika ada kesalahan dalam penulisan soal, kita tidak dapat melanjutkan.

Mari kita asumsikan bahwa yang dimaksud adalah A . B^T (perkalian elemen-wise atau Hadamard product) antara vektor baris A dan vektor kolom B^T:
A = [1, 2, 3, 2]
B^T = 
[a]
[b]
[2]
[1]

Perkalian elemen-wise dari A dan B^T tidak didefinisikan seperti ini.

Asumsi paling masuk akal berdasarkan format hasil [[15], [5], [14], [6]] adalah bahwa ini adalah hasil dari perkalian elemen-per-elemen antara dua vektor yang sama.

Misalkan kita menganggap A dan B adalah vektor baris:
A = [1, 2, 3, 2]
B = [a, b, 2, 1]

Dan A^T dan B^T adalah vektor kolom:
A^T = [[1], [2], [3], [2]]
B^T = [[a], [b], [2], [1]]

Dan hasil A^T . B^T = [[15], [5], [14], [6]] adalah hasil perkalian elemen-per-elemen (perkalian Hadamard).

Maka:
1 * a = 15  => a = 15
2 * b = 5   => b = 5/2
3 * 2 = 6   => Ini tidak cocok dengan 14.
2 * 1 = 2   => Ini tidak cocok dengan 6.

Ada inkonsistensi dalam soal ini. Namun, jika kita hanya fokus pada dua elemen pertama yang memberikan nilai a dan b:

Dari elemen pertama: 1 * a = 15 => a = 15
Dari elemen kedua: 2 * b = 5 => b = 5/2

Maka nilai a^2 * b adalah:
a^2 * b = (15)^2 * (5/2)
a^2 * b = 225 * (5/2)
a^2 * b = 1125 / 2
a^2 * b = 562.5

Namun, karena ada inkonsistensi pada elemen ketiga dan keempat, jawaban ini mungkin tidak valid jika seluruh soal harus konsisten. Jika kita mengasumsikan soal hanya ingin menguji pemahaman perkalian elemen-wise pada dua elemen pertama, maka jawabannya adalah 562.5.