Diketahui A^(-1) adalah invers matriks A dan a bilangan

3

Pembahasan

Diberikan matriks A = $\begin{pmatrix} a & 1 \ 0 & b \end{pmatrix}$.
Untuk mencari invers dari matriks 2x2 $\begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix}$, rumusnya adalah $\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix} s & -q \ -r & p \end{pmatrix}$.
Determinan A adalah det(A) = $a \times b - 1 \times 0 = ab$.
Jadi, invers dari matriks A adalah $A^{-1} = \frac{1}{ab}\begin{pmatrix} b & -1 \ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b/ab & -1/ab \ 0/ab & a/ab \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & -1/ab \ 0 & 1/b \end{pmatrix}$.

Diberikan juga persamaan $A - A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

$A - A^{-1} = \begin{pmatrix} a & 1 \ 0 & b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1/a & -1/ab \ 0 & 1/b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 1/a & 1 - (-1/ab) \ 0 - 0 & b - 1/b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a - 1/a & 1 + 1/ab \ 0 & b - 1/b \end{pmatrix}$.

Samakan dengan matriks yang diberikan:
$\begin{pmatrix} a - 1/a & 1 + 1/ab \ 0 & b - 1/b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 3/2 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Dari elemen baris 2, kolom 2:
$b - 1/b = 0$
$b = 1/b$
$b^2 = 1$
Karena a dan b adalah bilangan bulat positif, maka $b = 1$.

Dari elemen baris 1, kolom 1:
$a - 1/a = 3/2$
Kalikan dengan $2a$ untuk menghilangkan penyebut:
$2a^2 - 2 = 3a$
$2a^2 - 3a - 2 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(2a + 1)(a - 2) = 0$
Solusinya adalah $a = -1/2$ atau $a = 2$.
Karena a adalah bilangan bulat positif, maka $a = 2$.

Kita perlu memeriksa elemen baris 1, kolom 2:
$1 + 1/ab = 3/2$
$1 + 1/(2 	imes 1) = 1 + 1/2 = 3/2$.
Persamaan ini terpenuhi.

Jadi, nilai $a = 2$ dan $b = 1$.
Kita perlu mencari nilai $2a - b$.
$2a - b = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$.