Diketahui a=(2,1,-3), b=(3,1,1), c=(0,2,-2) . Tentukan

a x(b-2c) = (-4, -19, -9); a . (b x c) = -20; a x b x c tidak terdefinisi dalam bentuk ini, namun (a x b) x c = (24, 8, 8) dan a x (b x c) = (24, 0, 16).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu melakukan operasi vektor.

a.  a x(b-2c)
Pertama, hitung b - 2c:
b - 2c = (3, 1, 1) - 2(0, 2, -2)
= (3, 1, 1) - (0, 4, -4)
= (3 - 0, 1 - 4, 1 - (-4))
= (3, -3, 5)

Selanjutnya, hitung a x (b - 2c):
a x (b - 2c) = (2, 1, -3) x (3, -3, 5)
= ( (1*5 - (-3)*(-3)), ((-3)*3 - 2*5), (2*(-3) - 1*3) )
= ( (5 - 9), (-9 - 10), (-6 - 3) )
= (-4, -19, -9)

c. a x b x c
Ini adalah perkalian vektor tiga kali, yang tidak terdefinisi dalam urutan seperti ini. Perkalian vektor didefinisikan untuk dua vektor. Jika yang dimaksud adalah (a x b) x c atau a x (b x c), maka kedua operasi tersebut akan menghasilkan hasil yang berbeda dan terdefinisi.

Jika yang dimaksud adalah (a x b) x c:
Hitung a x b:
a x b = (2, 1, -3) x (3, 1, 1)
= ( (1*1 - (-3)*1), ((-3)*3 - 2*1), (2*1 - 1*3) )
= ( (1 - (-3)), (-9 - 2), (2 - 3) )
= (4, -11, -1)

Kemudian, hitung (a x b) x c:
(a x b) x c = (4, -11, -1) x (0, 2, -2)
= ( ((-11)*(-2) - (-1)*2), ((-1)*0 - 4*(-2)), (4*2 - (-11)*0) )
= ( (22 - (-2)), (0 - (-8)), (8 - 0) )
= (24, 8, 8)

Jika yang dimaksud adalah a x (b x c):
Hitung b x c:
b x c = (3, 1, 1) x (0, 2, -2)
= ( (1*(-2) - 1*2), (1*0 - 3*(-2)), (3*2 - 1*0) )
= ( (-2 - 2), (0 - (-6)), (6 - 0) )
= (-4, 6, 6)

Kemudian, hitung a x (b x c):
a x (b x c) = (2, 1, -3) x (-4, 6, 6)
= ( (1*6 - (-3)*6), ((-3)*(-4) - 2*6), (2*6 - 1*(-4)) )
= ( (6 - (-18)), (12 - 12), (12 - (-4)) )
= (24, 0, 16)

b. a . (b x c)
Ini adalah hasil kali skalar tiga vektor, yang juga dikenal sebagai produk campuran. Nilainya sama dengan determinan matriks yang dibentuk oleh ketiga vektor tersebut.
a . (b x c) = det([[2, 1, -3], [3, 1, 1], [0, 2, -2]])
= 2 * det([[1, 1], [2, -2]]) - 1 * det([[3, 1], [0, -2]]) + (-3) * det([[3, 1], [0, 2]])
= 2 * (1*(-2) - 1*2) - 1 * (3*(-2) - 1*0) - 3 * (3*2 - 1*0)
= 2 * (-2 - 2) - 1 * (-6 - 0) - 3 * (6 - 0)
= 2 * (-4) - 1 * (-6) - 3 * (6)
= -8 + 6 - 18
= -20