Diketahui a=3i-4j dan b=12i+5j Tentukan proyeksi ortogonal

Proyeksi ortogonal vektor b pada a adalah (48/25)i - (64/25)j.

Pembahasan

Untuk menentukan proyeksi ortogonal vektor b pada a, kita akan menggunakan rumus proyeksi ortogonal:

Proyeksi ortogonal vektor b pada a = ((b · a) / |a|^2) * a

Di mana:
- b · a adalah hasil perkalian titik (dot product) antara vektor b dan vektor a.
- |a|^2 adalah kuadrat dari panjang (magnitude) vektor a.

Diketahui:
a = 3i - 4j
b = 12i + 5j

Langkah 1: Hitung perkalian titik (dot product) b · a.
Perkalian titik dilakukan dengan mengalikan komponen-komponen yang bersesuaian dari kedua vektor lalu menjumlahkannya.
b · a = (12 * 3) + (5 * -4)
b · a = 36 + (-20)
b · a = 16

Langkah 2: Hitung kuadrat dari panjang vektor a (|a|^2).
Panjang vektor a dihitung menggunakan rumus |a| = sqrt(ax^2 + ay^2).
|a|^2 = ax^2 + ay^2
|a|^2 = (3)^2 + (-4)^2
|a|^2 = 9 + 16
|a|^2 = 25

Langkah 3: Substitusikan hasil dari Langkah 1 dan Langkah 2 ke dalam rumus proyeksi ortogonal.
Proyeksi ortogonal vektor b pada a = (16 / 25) * a
Proyeksi ortogonal vektor b pada a = (16 / 25) * (3i - 4j)

Langkah 4: Lakukan perkalian skalar.
Proyeksi ortogonal vektor b pada a = (16/25 * 3)i - (16/25 * 4)j
Proyeksi ortogonal vektor b pada a = (48/25)i - (64/25)j

Jadi, proyeksi ortogonal vektor b pada a adalah (48/25)i - (64/25)j.