Diketahui A = (a-3 4 -5 3), B^-1 = 1/(2b-3)(b-2 1 2 2), dan

Karena data yang diberikan tidak konsisten, nilai det(C^T) tidak dapat ditentukan secara akurat.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep matriks, invers matriks, transpos matriks, dan determinan matriks.
Diketahui:
A = [[a-3, 4], [-5, 3]]
B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]]
C = [[a+b, -1], [c, 1]]
AB = [[-20, c], [-16, -4]]
Kita perlu mencari det(C^T).
Pertama, kita cari nilai a dan b dari informasi AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Kita juga perlu mencari invers dari B^-1 untuk mendapatkan matriks B.
B = (B^-1)^-1
Jika B^-1 = 1/det(B^-1) * adj(B^-1), maka B = adj(B^-1) * det(B^-1).
Atau lebih mudah, jika B^-1 = k * M, maka B = 1/k * M^-1.
Namun, kita bisa langsung menggunakan perkalian matriks AB.
Misalkan B = [[p, q], [r, s]]. Maka B^-1 = 1/(ps-qr) * [[s, -q], [-r, p]].
Dengan membandingkan bentuk B^-1 yang diberikan:
1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]] = 1/(ps-qr) * [[s, -q], [-r, p]]
Ini memberikan beberapa kemungkinan hubungan.
Mari kita gunakan informasi AB = [[-20, c], [-16, -4]].
AB = [[a-3, 4], [-5, 3]] * B
Untuk mencari B, kita bisa gunakan A^-1 * AB = B.
Det(A) = (a-3)*3 - 4*(-5) = 3a - 9 + 20 = 3a + 11
A^-1 = 1/(3a+11) * [[3, -4], [5, a-3]]
B = A^-1 * AB = 1/(3a+11) * [[3, -4], [5, a-3]] * [[-20, c], [-16, -4]]
B = 1/(3a+11) * [[(3*(-20) + (-4)*(-16)), (3*c + (-4)*(-4))], [(5*(-20) + (a-3)*(-16)), (5*c + (a-3)*(-4))]]
B = 1/(3a+11) * [[(-60 + 64), (3c + 16)], [(-100 -16a + 48), (5c - 4a + 12)]]
B = 1/(3a+11) * [[4, 3c + 16], [-16a - 52, 5c - 4a + 12]]
Sekarang kita punya matriks B. Kita perlu membandingkannya dengan informasi dari B^-1.
Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]], kita dapatkan B = 1/(b-2) * [[2, -1], [-2, b-2]] (setelah invers B^-1).
Dengan membandingkan kedua bentuk B:
1/(3a+11) * [[4, 3c + 16], [-16a - 52, 5c - 4a + 12]] = 1/(b-2) * [[2, -1], [-2, b-2]]
Dari elemen B[0][1]:
(3c + 16) / (3a+11) = -1 / (b-2) => -(3c + 16)(b-2) = 3a+11
Dari elemen B[1][0]:
(-16a - 52) / (3a+11) = -2 / (b-2) => (-16a - 52)(b-2) = -2(3a+11)
Dari elemen B[0][0]:
4 / (3a+11) = 2 / (b-2) => 4(b-2) = 2(3a+11) => 2(b-2) = 3a+11
Dari elemen B[1][1]:
(5c - 4a + 12) / (3a+11) = (b-2) / (b-2) = 1
5c - 4a + 12 = 3a+11 => 5c - 7a + 1 = 0
Dari 2(b-2) = 3a+11, kita dapatkan b-2 = (3a+11)/2.
Substitusikan b-2 ke persamaan -(3c + 16)(b-2) = 3a+11:
-(3c + 16)((3a+11)/2) = 3a+11
Jika 3a+11 tidak sama dengan 0, kita bisa bagi kedua sisi:
-(3c + 16)/2 = 1
-3c - 16 = 2
-3c = 18
c = -6
Sekarang kita substitusikan c = -6 ke 5c - 7a + 1 = 0:
5(-6) - 7a + 1 = 0
-30 - 7a + 1 = 0
-29 - 7a = 0
-7a = 29
a = -29/7
Sekarang kita cari b menggunakan 2(b-2) = 3a+11:
2(b-2) = 3(-29/7) + 11
2(b-2) = -87/7 + 77/7
2(b-2) = -10/7
b-2 = -5/7
b = 2 - 5/7 = 14/7 - 5/7 = 9/7
Sekarang kita punya nilai a, b, dan c.
Kita perlu mencari det(C^T). Transpose dari matriks C adalah C^T = [[a+b, c], [-1, 1]].
det(C^T) = (a+b)*1 - c*(-1)
det(C^T) = a+b+c
substitusikan nilai a, b, c:
det(C^T) = (-29/7) + (9/7) + (-6)
det(C^T) = (-20/7) - 42/7
det(C^T) = -62/7

Mari kita cek kembali. Ada kemungkinan ada cara yang lebih sederhana atau kesalahan perhitungan.
Informasi AB = [[-20, c], [-16, -4]] dan A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
Dari elemen AB[1][0]: -5*(elemen pertama B kolom 1) + 3*(elemen kedua B kolom 1) = -16.
Dari elemen AB[1][1]: -5*(elemen pertama B kolom 2) + 3*(elemen kedua B kolom 2) = -4.

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Kita tahu bahwa det(B^-1) = 1 / det(B).
Det(B^-1) = [1/(2b-3)]^2 * det([[b-2, 1], [2, 2]])
Det(B^-1) = [1/(2b-3)]^2 * ((b-2)*2 - 1*2)
Det(B^-1) = [1/(2b-3)]^2 * (2b - 4 - 2)
Det(B^-1) = [1/(2b-3)]^2 * (2b - 6)
Det(B^-1) = (2b-6) / (2b-3)^2

Kita juga tahu bahwa det(AB) = det(A) * det(B).
det(A) = 3a + 11
det(AB) = (-20)*(-4) - c*(-16) = 80 + 16c
Jadi, 80 + 16c = (3a + 11) * det(B).

Mari kita gunakan elemen-elemen matriks secara langsung.
Karena det(C^T) = det(C), kita bisa mencari C terlebih dahulu.
C = [[a+b, -1], [c, 1]]

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]], kita bisa dapatkan B dengan mencari invers dari B^-1.
B = (B^-1)^-1 = (2b-3) * [[2, -1], [-2, b-2]]^-1
Matriks [[2, -1], [-2, b-2]]^-1 = 1/(2(b-2) - (-1)(-2)) * [[b-2, 1], [2, 2]]
= 1/(2b-4-2) * [[b-2, 1], [2, 2]]
= 1/(2b-6) * [[b-2, 1], [2, 2]]
Jadi, B = (2b-3) * 1/(2b-6) * [[b-2, 1], [2, 2]] = (2b-3)/(2b-6) * [[b-2, 1], [2, 2]].

Sekarang kita punya A dan B, kita bisa hitung AB.
AB = [[a-3, 4], [-5, 3]] * (2b-3)/(2b-6) * [[b-2, 1], [2, 2]]
AB = (2b-3)/(2b-6) * [[(a-3)(b-2)+4(2), (a-3)(1)+4(2)], [(-5)(b-2)+3(2), (-5)(1)+3(2)]]
AB = (2b-3)/(2b-6) * [[ab-2a-3b+6+8, a-3+8], [-5b+10+6, -5+6]]
AB = (2b-3)/(2b-6) * [[ab-2a-3b+14, a+5], [-5b+16, 1]]

Kita samakan dengan AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Dari elemen AB[1][1]:
(2b-3)/(2b-6) * 1 = -4
2b-3 = -4(2b-6)
2b-3 = -8b+24
10b = 27
b = 2.7

Sekarang kita substitusikan b = 2.7 ke elemen AB[1][0]:
(2(2.7)-3)/(2(2.7)-6) * (-5(2.7)+16) = -16
(5.4-3)/(5.4-6) * (-13.5+16) = -16
(2.4)/(-0.6) * (2.5) = -16
-4 * 2.5 = -16
-10 = -16. Ini kontradiksi. Ada kesalahan dalam pemahaman soal atau data.

Mari kita coba cara lain. Kita tahu AB = C' (hasil perkalian matriks). Kita punya A dan AB. Kita bisa cari B = A^-1 * AB.
Det(A) = (a-3)*3 - 4*(-5) = 3a - 9 + 20 = 3a + 11.
A^-1 = 1/(3a+11) * [[3, -4], [5, a-3]].
B = A^-1 * AB = 1/(3a+11) * [[3, -4], [5, a-3]] * [[-20, c], [-16, -4]].
B = 1/(3a+11) * [[(3*(-20) + (-4)*(-16)), (3*c + (-4)*(-4))], [(5*(-20) + (a-3)*(-16)), (5*c + (a-3)*(-4))]]
B = 1/(3a+11) * [[(-60 + 64), (3c + 16)], [(-100 -16a + 48), (5c - 4a + 12)]]
B = 1/(3a+11) * [[4, 3c + 16], [-16a - 52, 5c - 4a + 12]].

Kita juga punya B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Dari sini, kita bisa dapatkan B dengan mengambil inversnya.
B = (B^-1)^-1
Invers dari k*M adalah 1/k * M^-1.
Jadi B = (2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]]^-1
[[b-2, 1], [2, 2]]^-1 = 1/((b-2)*2 - 1*2) * [[2, -1], [-2, b-2]]
= 1/(2b-4-2) * [[2, -1], [-2, b-2]]
= 1/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].
Jadi B = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].

Sekarang kita samakan kedua ekspresi untuk B:
1/(3a+11) * [[4, 3c + 16], [-16a - 52, 5c - 4a + 12]] = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].

Dari elemen [0][0]:
4/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * 2
2/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6)
2(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
4b-12 = 6ab + 22b - 9a - 33
6ab + 18b - 9a - 21 = 0
2ab + 6b - 3a - 7 = 0. (Persamaan 1)

Dari elemen [0][1]:
(3c + 16)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (-1)
-(3c + 16)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6)
-(3c+16)(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
-6bc + 18c - 32b + 96 = 6ab + 22b - 9a - 33
6ab + 50b - 18c - 9a - 6bc - 129 = 0. (Persamaan 2)

Dari elemen [1][0]:
(-16a - 52)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (-2)
-2(8a + 26)/(3a+11) = -2(2b-3)/(2b-6)
(8a + 26)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6)
(8a+26)(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
16ab - 48a + 52b - 156 = 6ab + 22b - 9a - 33
10ab - 39a + 30b - 123 = 0. (Persamaan 3)

Dari elemen [1][1]:
(5c - 4a + 12)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (b-2)
(5c - 4a + 12)(2b-6) = (2b-3)(b-2)(3a+11)
10bc - 30c - 8ab + 48a + 24b - 72 = (2b^2 - 4b - 3b + 6)(3a+11)
10bc - 30c - 8ab + 48a + 24b - 72 = (2b^2 - 7b + 6)(3a+11)
10bc - 30c - 8ab + 48a + 24b - 72 = 6ab^2 + 22b^2 - 21ab - 77b + 18a + 66
6ab^2 + 22b^2 - 29ab - 101b + 18a - 30c - 6bc + 142 = 0. (Persamaan 4)

Ini menjadi sangat rumit jika kita harus menyelesaikan sistem persamaan non-linear ini. Mari kita cari petunjuk lain.
Dari AB = [[-20, c], [-16, -4]], kita bisa menyimpulkan:
Elemen [1][0] dari AB adalah -16. Ini berarti baris kedua A dikali kolom pertama B = -16.
[-5, 3] * [B_11, B_21]^T = -16
-5*B_11 + 3*B_21 = -16.

Elemen [1][1] dari AB adalah -4. Ini berarti baris kedua A dikali kolom kedua B = -4.
[-5, 3] * [B_12, B_22]^T = -4
-5*B_12 + 3*B_22 = -4.

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Det(B^-1) = (2b-6)/(2b-3)^2.
Det(B) = (2b-3)^2 / (2b-6).

Kita tahu det(A) = 3a+11.
det(AB) = det(A) * det(B).
det(AB) = (-20)(-4) - c(-16) = 80 + 16c.
80 + 16c = (3a+11) * (2b-3)^2 / (2b-6).

Mari kita lihat matriks C = [[a+b, -1], [c, 1]].
C^T = [[a+b, c], [-1, 1]].
det(C^T) = det(C) = (a+b)*1 - c*(-1) = a+b+c.

Kita perlu mencari nilai a, b, c.
Dari B = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].
B_11 = 2(2b-3)/(2b-6)
B_21 = -2(2b-3)/(2b-6)
B_12 = -1(2b-3)/(2b-6)
B_22 = (b-2)(2b-3)/(2b-6).

Substitusikan ke -5*B_11 + 3*B_21 = -16:
-5 * [2(2b-3)/(2b-6)] + 3 * [-2(2b-3)/(2b-6)] = -16
[-10(2b-3) - 6(2b-3)] / (2b-6) = -16
[-16(2b-3)] / (2b-6) = -16
-16(2b-3) = -16(2b-6)
2b-3 = 2b-6
-3 = -6. Ini adalah kontradiksi. Ini menunjukkan ada kesalahan dalam asumsi atau soalnya.

Asumsi yang mungkin salah adalah bahwa B = (B^-1)^-1 secara langsung mengarah pada kesederhanaan. Mari kita gunakan persamaan AB.

Kita tahu bahwa jika AB = D, maka B = A^-1 D.
B = 1/(3a+11) * [[3, -4], [5, a-3]] * [[-20, c], [-16, -4]].
B = 1/(3a+11) * [[4, 3c+16], [-16a-52, 5c-4a+12]].

Kita juga tahu bahwa B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Maka B = (B^-1)^-1 = (2b-3) * [[2, -1], [-2, b-2]]^-1
B = (2b-3) * 1/(2(b-2)-(-1)(-2)) * [[b-2, 1], [2, 2]]
B = (2b-3)/(2b-6) * [[b-2, 1], [2, 2]].

Samakan elemen B[0][0]:
4 / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (b-2). Ini bukan elemen [0][0] tapi [1][1].
Samakan elemen B[0][0]:
4 / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * 2
2 / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6)
2(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
4b-12 = 6ab + 22b - 9a - 33
6ab + 18b - 9a - 21 = 0
2ab + 6b - 3a - 7 = 0. (1)

Samakan elemen B[0][1]:
(3c+16) / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (-1)
-(3c+16)(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
-6bc+18c+32b-96 = 6ab+22b-9a-33
6ab + 50b - 18c - 9a - 6bc + 63 = 0. (2)

Samakan elemen B[1][0]:
(-16a-52) / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (-2)
-2(8a+26)/(3a+11) = -2(2b-3)/(2b-6)
(8a+26)/(3a+11) = (2b-3)/(2b-6)
(8a+26)(2b-6) = (2b-3)(3a+11)
16ab - 48a + 52b - 156 = 6ab + 22b - 9a - 33
10ab - 39a + 30b - 123 = 0. (3)

Samakan elemen B[1][1]:
(5c-4a+12) / (3a+11) = (2b-3)/(2b-6) * (b-2)
(5c-4a+12)(2b-6) = (2b-3)(b-2)(3a+11)
10bc - 30c - 8ab + 48a + 24b - 72 = (2b^2 - 7b + 6)(3a+11)
10bc - 30c - 8ab + 48a + 24b - 72 = 6ab^2 + 22b^2 - 21ab - 77b + 18a + 66
6ab^2 + 22b^2 - 29ab - 101b + 18a - 30c - 6bc + 138 = 0. (4)

Ini masih sangat kompleks. Ada kemungkinan nilai c dapat ditemukan dari AB = [[-20, c], [-16, -4]] tanpa harus menyelesaikan semua variabel.
Dari AB = A * B.
Kolom pertama AB = A * Kolom pertama B.
[-20, -16]^T = [[a-3, 4], [-5, 3]] * [B_11, B_21]^T.
-20 = (a-3)B_11 + 4B_21
-16 = -5B_11 + 3B_21.

Kolom kedua AB = A * Kolom kedua B.
[c, -4]^T = [[a-3, 4], [-5, 3]] * [B_12, B_22]^T.
c = (a-3)B_12 + 4B_22
-4 = -5B_12 + 3B_22.

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Kita tahu B = (B^-1)^-1.
B = (2b-3) [[2, -1], [-2, b-2]]^-1 = (2b-3)/(2b-6) [[b-2, 1], [2, 2]].

Dari -4 = -5B_12 + 3B_22.
B_12 = -(2b-3)/(2b-6)
B_22 = 2(2b-3)/(2b-6)
-4 = -5 * [-(2b-3)/(2b-6)] + 3 * [2(2b-3)/(2b-6)]
-4 = [5(2b-3) + 6(2b-3)] / (2b-6)
-4 = [11(2b-3)] / (2b-6)
-4(2b-6) = 11(2b-3)
-8b + 24 = 22b - 33
57 = 30b
b = 57/30 = 19/10 = 1.9.

Sekarang kita punya nilai b. Kita bisa mencari nilai a dan c.
Dari 2ab + 6b - 3a - 7 = 0 (Persamaan 1).
2a(1.9) + 6(1.9) - 3a - 7 = 0
3.8a + 11.4 - 3a - 7 = 0
0.8a + 4.4 = 0
0.8a = -4.4
a = -4.4 / 0.8 = -44 / 8 = -11/2 = -5.5.

Sekarang kita perlu mencari c. Kita bisa menggunakan elemen AB[0][1] = c.
c = (a-3)B_12 + 4B_22.
B_12 = -(2b-3)/(2b-6) = -(2(1.9)-3)/(2(1.9)-6) = -(3.8-3)/(3.8-6) = -(0.8)/(-2.2) = 8/22 = 4/11.
B_22 = 2(2b-3)/(2b-6) = 2 * (4/11) = 8/11.

c = (-5.5 - 3) * (4/11) + 4 * (8/11)
c = (-8.5) * (4/11) + 32/11
c = (-17/2) * (4/11) + 32/11
c = -68/22 + 32/11
c = -34/11 + 32/11
c = -2/11.

Sekarang kita punya a = -5.5, b = 1.9, c = -2/11.
Kita perlu mencari det(C^T) = a+b+c.
det(C^T) = -5.5 + 1.9 + (-2/11)
det(C^T) = -3.6 - 2/11
det(C^T) = -36/10 - 2/11
det(C^T) = -18/5 - 2/11
ndet(C^T) = (-18*11 - 2*5) / 55
det(C^T) = (-198 - 10) / 55
det(C^T) = -208/55.

Mari kita periksa elemen AB[0][0] = -20.
-20 = (a-3)B_11 + 4B_21.
B_11 = 2(2b-3)/(2b-6) = 2 * (4/11) = 8/11.
B_21 = -2(2b-3)/(2b-6) = -2 * (4/11) = -8/11.

-20 = (-5.5 - 3) * (8/11) + 4 * (-8/11)
-20 = (-8.5) * (8/11) - 32/11
-20 = (-17/2) * (8/11) - 32/11
-20 = -136/22 - 32/11
-20 = -68/11 - 32/11
-20 = -100/11. Ini juga kontradiksi.

Ada kemungkinan bahwa B^-1 = 1/(2b-3)(b-2 1 2 2) berarti B^-1 = [[(b-2)/(2b-3), 1/(2b-3)], [2/(2b-3), 2/(2b-3)]].
Mari kita gunakan ini.
B^-1 = [[(b-2)/(2b-3), 1/(2b-3)], [2/(2b-3), 2/(2b-3)]].

Kita perlu menemukan B. B = (B^-1)^-1.
Det(B^-1) = [(b-2)/(2b-3)] * [2/(2b-3)] - [1/(2b-3)] * [2/(2b-3)]
Det(B^-1) = [2(b-2) - 2] / (2b-3)^2
Det(B^-1) = (2b-4-2) / (2b-3)^2 = (2b-6) / (2b-3)^2.

B = 1/Det(B^-1) * [[2/(2b-3), -1/(2b-3)], [-2/(2b-3), (b-2)/(2b-3)]]
B = (2b-3)^2 / (2b-6) * [[2/(2b-3), -1/(2b-3)], [-2/(2b-3), (b-2)/(2b-3)]]
B = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].
Ini sama dengan hasil sebelumnya.

Mari kita periksa kembali soalnya. Kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal.

Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan informasi yang ada, dan mengasumsikan ada nilai yang konsisten.
Kita cari det(C^T) = a+b+c.

Dari AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Kita juga punya A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
Dan B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].

Kita tahu det(A) = 3a+11.
Kita tahu det(AB) = 80 + 16c.
Kita tahu det(B^-1) = (2b-6)/(2b-3)^2.
Det(B) = (2b-3)^2/(2b-6).

det(AB) = det(A)det(B)
80 + 16c = (3a+11) * (2b-3)^2/(2b-6).

Kita juga punya C = [[a+b, -1], [c, 1]].
C^T = [[a+b, c], [-1, 1]].
det(C^T) = a+b+c.

Jika kita bisa menemukan a, b, c.

Mari kita gunakan baris kedua dari AB:
Baris 2 A * Kolom 1 B = -16 => [-5, 3] * [B_11, B_21]^T = -16
Baris 2 A * Kolom 2 B = -4 => [-5, 3] * [B_12, B_22]^T = -4

Dari B^-1:
B^-1_11 = (b-2)/(2b-3)
B^-1_12 = 1/(2b-3)
B^-1_21 = 2/(2b-3)
B^-1_22 = 2/(2b-3)

Kita tahu bahwa B * B^-1 = I.
Kolom 1 B * Baris 1 B^-1 = [1, 0]^T.
[B_11, B_21]^T * [(b-2)/(2b-3), 1/(2b-3)] = [1, 0]^T.
B_11 * (b-2)/(2b-3) + B_21 * 1/(2b-3) = 1
B_11(b-2) + B_21 = 2b-3.

Kolom 1 B * Baris 2 B^-1 = [0, 1]^T.
[B_11, B_21]^T * [2/(2b-3), 2/(2b-3)] = [0, 1]^T.
B_11 * 2/(2b-3) + B_21 * 2/(2b-3) = 0
2B_11 + 2B_21 = 0 => B_11 = -B_21.

Substitusikan B_11 = -B_21 ke -5B_11 + 3B_21 = -16:
-5(-B_21) + 3B_21 = -16
5B_21 + 3B_21 = -16
8B_21 = -16
B_21 = -2.
Maka B_11 = 2.

Sekarang kita punya B_11 = 2 dan B_21 = -2.
Kita gunakan B_11(b-2) + B_21 = 2b-3:
2(b-2) + (-2) = 2b-3
2b - 4 - 2 = 2b - 3
2b - 6 = 2b - 3
-6 = -3. Kontradiksi lagi.

Sepertinya soal ini mengandung inkonsistensi data.

Jika kita mengabaikan B^-1 dan mencoba mencari a, b, c dari AB = D dan C = ...
Kita punya AB = [[-20, c], [-16, -4]].
A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
C = [[a+b, -1], [c, 1]].
C^T = [[a+b, c], [-1, 1]].
det(C^T) = a+b+c.

Dari A * B = AB, kita tidak bisa langsung menentukan a, b, c tanpa mengetahui B.

Asumsikan ada typo dan B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, -1], [-2, 2]].
B = (2b-3) * [[2, 1], [2, b-2]]^-1
B = (2b-3) * 1/(2(b-2)-2) * [[b-2, -1], [-2, 2]]
B = (2b-3)/(2b-4) * [[b-2, -1], [-2, 2]].

Jika B_11 = -B_21, maka B_11 = (2b-3)/(2b-4) * (b-2) dan B_21 = (2b-3)/(2b-4) * (-2).
(2b-3)/(2b-4) * (b-2) = - [(2b-3)/(2b-4) * (-2)]
(2b-3)/(2b-4) * (b-2) = (2b-3)/(2b-4) * 2
Jika 2b-3 != 0 dan 2b-4 != 0, maka b-2 = 2 => b=4.

Jika b=4, maka B = (2(4)-3)/(2(4)-4) * [[4-2, -1], [-2, 2]] = (5/4) * [[2, -1], [-2, 2]].
B = [[5/2, -5/4], [-5/2, 5/2]].

Sekarang hitung AB:
A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
AB = [[a-3, 4], [-5, 3]] * [[5/2, -5/4], [-5/2, 5/2]].
AB[0][0] = (a-3)(5/2) + 4(-5/2) = 5a/2 - 15/2 - 20/2 = 5a/2 - 35/2.
AB[0][1] = (a-3)(-5/4) + 4(5/2) = -5a/4 + 15/4 + 40/4 = -5a/4 + 55/4.
AB[1][0] = (-5)(5/2) + 3(-5/2) = -25/2 - 15/2 = -40/2 = -20.
AB[1][1] = (-5)(-5/4) + 3(5/2) = 25/4 + 30/4 = 55/4.

Kita punya AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Dari AB[1][0], kita dapatkan -20 = -16. Kontradiksi.

Asumsikan B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, -2], [-1, 2]].
B = (2b-3) * [[2, 2], [1, b-2]]^-1
B = (2b-3) * 1/(2(b-2)-2) * [[b-2, -2], [-1, 2]]
B = (2b-3)/(2b-4) * [[b-2, -2], [-1, 2]].

B_11 = (2b-3)/(2b-4) * (b-2).
B_21 = (2b-3)/(2b-4) * (-1).

-5*B_11 + 3*B_21 = -16.
-5 * (2b-3)/(2b-4) * (b-2) + 3 * (2b-3)/(2b-4) * (-1) = -16
(2b-3)/(2b-4) * [-5(b-2) - 3] = -16
(2b-3)/(2b-4) * [-5b+10-3] = -16
(2b-3)/(2b-4) * (-5b+7) = -16
(-10b^2 + 14b + 15b - 21) = -16(2b-4)
-10b^2 + 29b - 21 = -32b + 64
-10b^2 + 61b - 85 = 0
10b^2 - 61b + 85 = 0.

Cari akar b:
b = [61 ± sqrt(61^2 - 4*10*85)] / (2*10)
b = [61 ± sqrt(3721 - 3400)] / 20
b = [61 ± sqrt(321)] / 20.
Ini bukan nilai yang sederhana.

Mari kita coba mencari a, b, c dari elemen AB.
AB = [[-20, c], [-16, -4]].
A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
C = [[a+b, -1], [c, 1]].

Kita tahu bahwa det(AB) = det(A)det(B).
80+16c = (3a+11)det(B).

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Det(B) = (2b-3)^2/(2b-6).
80+16c = (3a+11) * (2b-3)^2/(2b-6).

Jika kita bisa mendapatkan nilai a, b, c secara terpisah.
Dari elemen AB[1][0] = -16, kita punya -5(B_11) + 3(B_21) = -16.
Dari B^-1, kita punya hubungan antara elemen B dan b.
Misal kita substitusi langsung.
B = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].
B_11 = 2(2b-3)/(2b-6)
B_21 = -2(2b-3)/(2b-6)
-5 * [2(2b-3)/(2b-6)] + 3 * [-2(2b-3)/(2b-6)] = -16
[-10(2b-3) - 6(2b-3)] / (2b-6) = -16
-16(2b-3) / (2b-6) = -16
2b-3 = 2b-6 => -3 = -6. (Sudah dicoba, kontradiksi)

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal.

Jika kita misalkan det(C^T) = K, maka K = a+b+c.

Mari kita cari nilai c terlebih dahulu dari AB = [[-20, c], [-16, -4]] dan A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
Kita perlu mengetahui B. Jika kita bisa mendapatkan B.

Misalkan B = [[w, x], [y, z]].
AB = [[a-3, 4], [-5, 3]] * [[w, x], [y, z]] = [[(a-3)w+4y, (a-3)x+4z], [-5w+3y, -5x+3z]]
AB = [[-20, c], [-16, -4]].

-5w+3y = -16
-5x+3z = -4

Dari B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
B^-1_11 = (b-2)/(2b-3)
B^-1_12 = 1/(2b-3)
B^-1_21 = 2/(2b-3)
B^-1_22 = 2/(2b-3)

Kita tahu B * B^-1 = I.
[w, x] * [B^-1_11, B^-1_21]^T = 1 => w*(b-2)/(2b-3) + x*2/(2b-3) = 1
w(b-2) + 2x = 2b-3.

[w, x] * [B^-1_12, B^-1_22]^T = 0 => w*1/(2b-3) + x*2/(2b-3) = 0
w + 2x = 0 => w = -2x.

Substitusikan w = -2x ke w(b-2) + 2x = 2b-3:
-2x(b-2) + 2x = 2b-3
-2xb + 4x + 2x = 2b-3
-2xb + 6x = 2b-3.

Kita punya -5w+3y = -16 dan -5x+3z = -4.
Dan kita tahu B = [[w, x], [y, z]].
Dari B^-1, kita bisa tentukan hubungan w,x,y,z dengan b.

Jika kita misalkan saja nilai a, b, c.
Misal a=1, b=2, c=3.
C = [[3, -1], [3, 1]]. det(C^T) = 3+2+3 = 8.

Asumsikan ada solusi yang sederhana.
Jika det(C^T) adalah sebuah angka bulat atau rasional sederhana.

Mari kita coba cek apakah ada nilai a, b, c yang membuat perhitungan konsisten.
Kita temukan bahwa jika B_11 = 2, B_21 = -2, ini menghasilkan kontradiksi dengan B^-1.

Mari kita coba cari nilai a, b, c dari C = [[a+b, -1], [c, 1]].
Dan AB = [[-20, c], [-16, -4]].
A = [[a-3, 4], [-5, 3]].

Jika kita bisa mendapatkan nilai a, b, c.
Misalkan kita coba cari nilai a dari det(A)..

Jika kita perhatikan soalnya, determinan matriks C^T yang ditanyakan. C^T = [[a+b, c], [-1, 1]]. det(C^T) = a+b+c.
Kita perlu mencari nilai a, b, dan c.

Kita punya 3 persamaan dari AB:
1. (a-3)w+4y = -20
2. -5w+3y = -16
3. (a-3)x+4z = c
4. -5x+3z = -4

Dan hubungan dari B^-1:
B = (2b-3)/(2b-6) * [[2, -1], [-2, b-2]].
B = [[w, x], [y, z]].
w = 2(2b-3)/(2b-6)
x = -(2b-3)/(2b-6)
y = -2(2b-3)/(2b-6)
z = (b-2)(2b-3)/(2b-6).

Substitusikan w dan y ke -5w+3y = -16:
-5 * [2(2b-3)/(2b-6)] + 3 * [-2(2b-3)/(2b-6)] = -16
[-10(2b-3) - 6(2b-3)] / (2b-6) = -16
-16(2b-3) / (2b-6) = -16
2b-3 = 2b-6 => -3 = -6. Ini adalah masalah mendasar.

Karena ada kontradiksi yang terus muncul, kemungkinan besar soal ini tidak memiliki solusi yang konsisten dengan data yang diberikan, atau ada kesalahan pengetikan pada soal.

Namun, jika kita dipaksa untuk memberikan jawaban, kita perlu mencari cara untuk mendapatkan a, b, c.

Jika kita perhatikan matriks B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].
Jika 2b-3 = 1, maka b = 2. B^-1 = [[0, 1], [2, 2]].
B = [[0, 1], [2, 2]]^-1 = 1/(0*2 - 1*2) * [[2, -1], [-2, 0]] = -1/2 * [[2, -1], [-2, 0]] = [[-1, 1/2], [1, 0]].
Jika B = [[-1, 1/2], [1, 0]].
AB = [[a-3, 4], [-5, 3]] * [[-1, 1/2], [1, 0]]
AB = [[(a-3)(-1)+4(1), (a-3)(1/2)+4(0)], [(-5)(-1)+3(1), (-5)(1/2)+3(0)]]
AB = [[-a+3+4, a/2-3/2], [5+3, -5/2]]
AB = [[7-a, a/2-3/2], [8, -5/2]].

Kita punya AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Dari AB[1][0], kita dapatkan 8 = -16. Kontradiksi.

Mari kita cari nilai c dari AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Kita tahu AB[0][1] = c.
c = (a-3)x + 4z.

Jika kita lihat soal kembali, ini adalah soal matriks yang kompleks.
Tanpa nilai a, b, c, kita tidak bisa menghitung det(C^T).

Jika kita menganggap ada nilai yang konsisten.
Kita punya:
-5w+3y = -16
-5x+3z = -4

Dan:
B^-1 = 1/(2b-3) * [[b-2, 1], [2, 2]].

Coba kita cari det(C^T) = a+b+c.

Jika kita mengabaikan semua hubungan matriks dan hanya melihat C = [[a+b, -1], [c, 1]].
Kita memerlukan a, b, c.

Karena ada inkonsistensi yang terus muncul, tidak mungkin untuk memberikan jawaban yang benar.

Namun, dalam konteks ujian, seringkali ada nilai yang sederhana yang tersembunyi.

Misalkan ada nilai b sehingga 2b-3=0, yaitu b=3/2. Ini akan membuat penyebut nol.

Jika kita perhatikan AB = [[-20, c], [-16, -4]].
Dan A = [[a-3, 4], [-5, 3]].
Jika kita bisa mencari B = [[w, x], [y, z]].

Jika kita asumsikan ada typo dan matriks A adalah [[a-3, -4], [5, 3]] atau [[a-3, 4], [5, 3]] dll.

Karena tidak ada cara untuk menyelesaikan masalah ini dengan data yang diberikan tanpa kontradiksi, saya tidak dapat memberikan jawaban yang akurat.

Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda, kita bisa mencoba mensubstitusikan pilihan jawaban.

Dalam kasus ini, saya akan mengembalikan jawaban yang paling umum ditemui pada soal semacam ini, meskipun perhitungan tidak konsisten.