Diketahui alpha-beta= pi/3 dan sinalpha sin beta =1/4

0

Pembahasan

Diketahui $\alpha - \beta = \frac{\pi}{3}$ dan $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{4}$. $\alpha$ dan $\beta$ adalah sudut lancip.
Kita ingin mencari nilai $\cos(\alpha + \beta)$.

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri:
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$

Dari soal, kita punya $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{4}$, sehingga $2 \sin \alpha \sin \beta = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Jadi, $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$.

Kita tahu bahwa $\alpha - \beta = \frac{\pi}{3}$. Maka, $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Substitusikan nilai $\cos(\alpha - \beta)$ ke dalam persamaan:

$\frac{1}{2} - \cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$

$
-\cos(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

$-\cos(\alpha + \beta) = 0$

$
\cos(\alpha + \beta) = 0$

Untuk memastikan bahwa $\alpha$ dan $\beta$ adalah sudut lancip, kita perlu memeriksa rentang nilai $\alpha + \beta$. Karena $\alpha$ dan $\beta$ lancip, maka $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ dan $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.
Sehingga, $0 < \alpha + \beta < \pi$.
Nilai $\cos(\alpha + \beta) = 0$ terjadi ketika $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ (dalam rentang $0$ sampai $\pi$).
Ini konsisten dengan $\alpha$ dan $\beta$ yang merupakan sudut lancip.