Diketahui bahwa 3^1/2sin^2x+3^1/3cos^2x=2^1/3, maka

Penyelesaian soal ini secara aljabar sangat kompleks karena basis dan eksponen yang berbeda, dan kemungkinan ada kesalahan pengetikan pada soal.

Pembahasan

Diberikan persamaan $3^{1/2}\	ext{sin}^2(x) + 3^{1/3}\	ext{cos}^2(x) = 2^{1/3}$. Kita perlu mencari nilai dari $\	ext{cos}^2(2x)$.

Untuk menyederhanakan persamaan, mari kita gunakan identitas $\	ext{sin}^2(x) = 1 - \	ext{cos}^2(x)$.
Substitusikan ke dalam persamaan:
$\\\sqrt{3}(1 - \	ext{cos}^2(x)) + \\\sqrt[3]{3}\	ext{cos}^2(x) = \\[\sqrt[3]{2}]$
$\\\sqrt{3} - \\[\sqrt{3}]\	ext{cos}^2(x) + \\[\sqrt[3]{3}]\	ext{cos}^2(x) = \\[\sqrt[3]{2}]$
$\\[\sqrt{3}]\	ext{cos}^2(x) (\\[\sqrt[3]{3}] - \\[\sqrt{3}]) = \\[\sqrt[3]{2}] - \\[\sqrt{3}]$
$\\\text{cos}^2(x) = \\frac{\\[\sqrt[3]{2}] - \\[\sqrt{3}]}{\\[\sqrt[3]{3}]\sqrt{3} - \\[\sqrt{3}]^2}

Ini terlihat sangat rumit dan kemungkinan ada kesalahan dalam interpretasi soal atau soalnya sendiri tidak dirancang untuk diselesaikan dengan cara aljabar langsung seperti ini, terutama dengan basis dan eksponen yang berbeda. 

Mari kita coba pendekatan lain dengan asumsi soalnya mungkin memiliki bentuk yang lebih simetris atau ada kesalahan pengetikan. Jika kita berasumsi koefisiennya adalah sama, misalnya $a \	ext{sin}^2(x) + a \	ext{cos}^2(x) = a$, yang akan menyederhanakan menjadi $a(\	ext{sin}^2(x) + \	ext{cos}^2(x)) = a$, atau $a=a$.

Namun, karena soal diberikan seperti itu, mari kita periksa kembali jika ada trik.

Jika kita menganggap $a = 3^{1/2}$ dan $b = 3^{1/3}$, dan $c = 2^{1/3}$.
$a \	ext{sin}^2(x) + b \	ext{cos}^2(x) = c$
$a(1 - \	ext{cos}^2(x)) + b \	ext{cos}^2(x) = c$
$a - a \	ext{cos}^2(x) + b \	ext{cos}^2(x) = c$
$\	ext{cos}^2(x) (b - a) = c - a$
$\\\text{cos}^2(x) = \\frac{c - a}{b - a}$
$\\\text{cos}^2(x) = \\frac{2^{1/3} - 3^{1/2}}{3^{1/3} - 3^{1/2}}$

Sekarang kita perlu mencari $\\\text{cos}^2(2x)$. Kita tahu bahwa $\\\text{cos}(2x) = 2\	ext{cos}^2(x) - 1$. Maka $\\\text{cos}^2(2x) = (2\	ext{cos}^2(x) - 1)^2$.

$\\\	ext{cos}^2(2x) = \\left( 2 \\left( \\frac{2^{1/3} - 3^{1/2}}{3^{1/3} - 3^{1/2}} \\right) - 1 \\right)^2$
$\\\	ext{cos}^2(2x) = \\left( \\frac{2(2^{1/3} - 3^{1/2}) - (3^{1/3} - 3^{1/2})}{3^{1/3} - 3^{1/2}} \\right)^2$
$\\\	ext{cos}^2(2x) = \\left( \\frac{2 \\cdot 2^{1/3} - 2 \\cdot 3^{1/2} - 3^{1/3} + 3^{1/2}}{3^{1/3} - 3^{1/2}} \\right)^2$
$\\\	ext{cos}^2(2x) = \\left( \\frac{2^{4/3} - 3^{1/2} - 3^{1/3}}{3^{1/3} - 3^{1/2}} \\right)^2$

Perhitungan ini sangat kompleks dan kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal atau soal ini membutuhkan pengetahuan tingkat lanjut tentang manipulasi eksponen dan akar yang tidak umum dalam kurikulum standar. 

Jika kita mengasumsikan ada typo dan soalnya seharusnya lebih sederhana, misalnya:
Jika $3 \	ext{sin}^2(x) + 3 \	ext{cos}^2(x) = 3$, maka $3(\	ext{sin}^2(x) + \	ext{cos}^2(x)) = 3$, yang benar untuk semua x. Dalam kasus ini $\\\text{cos}^2(2x)$ tidak bisa ditentukan.

Jika soalnya adalah $3^{1/2}\	ext{sin}^2(x) + 3^{1/2}\	ext{cos}^2(x) = 3^{1/2}$, maka $3^{1/2}(\	ext{sin}^2(x) + \	ext{cos}^2(x)) = 3^{1/2}$, yang juga benar untuk semua x.

Tanpa klarifikasi atau koreksi pada soal, penyelesaiannya secara aljabar sangat rumit dan tidak menghasilkan nilai numerik yang sederhana. Kemungkinan soal ini berasal dari konteks spesifik atau ada informasi tambahan yang hilang.