Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB=8 cm, BC=4 cm,

Jarak titik A ke garis PQ adalah \frac{12\sqrt{5}}{5} cm.

Pembahasan

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm, BC = 4 cm, dan AE = 16 cm.
Titik P di tengah garis BC, sehingga BP = PC = BC/2 = 4/2 = 2 cm.
Titik Q di tengah garis CD, sehingga CQ = QD = CD/2 = 8/2 = 4 cm (karena CD = AB).

Kita perlu mencari jarak titik A ke garis PQ.
Mari kita gunakan sistem koordinat.
Misalkan titik A berada di (0, 0, 0).
Karena AB sejajar sumbu x, BC sejajar sumbu y, dan AE sejajar sumbu z:

A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 16)
F = (8, 0, 16)
G = (8, 4, 16)
H = (0, 4, 16)

P adalah titik tengah BC:
P = ( (8+8)/2, (0+4)/2, (0+0)/2 ) = (8, 2, 0)

Q adalah titik tengah CD:
Q = ( (8+0)/2, (4+4)/2, (0+0)/2 ) = (4, 4, 0)

Sekarang kita perlu mencari jarak dari titik A(0, 0, 0) ke garis PQ.

Kita dapat menggunakan vektor untuk menemukan jarak ini.

vektor PQ = Q - P = (4-8, 4-2, 0-0) = (-4, 2, 0)
panjang vektor PQ = ||PQ|| = $\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

vektor AP = P - A = (8, 2, 0)

Jarak dari titik A ke garis PQ dapat dihitung menggunakan rumus:
Jarak = $\frac{|| \text{AP} \times \text{PQ} ||}{|| \text{PQ} ||}$

Hitung hasil kali silang AP x PQ:
AP x PQ = $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
= $\mathbf{i}(2 \times 0 - 0 \times 2) - \mathbf{j}(8 \times 0 - 0 \times (-4)) + \mathbf{k}(8 \times 2 - 2 \times (-4))$
= $\mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(16 - (-8))$
= $0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 24\mathbf{k}$
= (0, 0, 24)

Panjang hasil kali silang ||AP x PQ|| = $\sqrt{0^2 + 0^2 + 24^2} = 24$

Jarak = $\frac{24}{2\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Jadi, jarak titik A ke garis PQ adalah $\frac{12\sqrt{5}}{5}$ cm.