Diketahui bidang empat beraturan A.BCD dengan E titik

Nilai cos alpha adalah 1/3.

Pembahasan

Diketahui bidang empat beraturan A.BCD, yang berarti semua rusuknya sama panjang dan semua sisinya adalah segitiga sama sisi. E adalah titik tengah BC.

Sudut antara bidang ABC dan bidang BCD adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang (yaitu garis BC) pada bidang yang sama.

Karena bidang empat beraturan, maka segitiga ABC dan BCD adalah segitiga sama sisi. Misalkan panjang rusuknya adalah 'a'.

Untuk mencari sudut antara bidang ABC dan BCD:
1. Pilih sebuah titik pada garis potong BC, misalnya E (titik tengah BC).
2. Tarik garis dari E yang tegak lurus BC pada bidang ABC. Karena segitiga ABC sama sisi, AE adalah garis tinggi dan juga median, sehingga AE tegak lurus BC.
3. Tarik garis dari E yang tegak lurus BC pada bidang BCD. Karena segitiga BCD sama sisi, DE adalah garis tinggi dan juga median, sehingga DE tegak lurus BC.
4. Sudut yang dicari adalah sudut antara AE dan DE, yaitu sudut AED.

Dalam segitiga sama sisi dengan panjang sisi 'a':
- Tinggi segitiga (misalnya AE atau DE) = (a√3)/2.
- Panjang sisi alas BC = a, maka BE = EC = a/2.

Sekarang kita tinjau segitiga AED:
- AE = (a√3)/2
- DE = (a√3)/2
- AD = a (karena bidang empat beraturan)

Gunakan aturan kosinus pada segitiga AED untuk mencari sudut AED (yang kita sebut alpha):
AD² = AE² + DE² - 2 * AE * DE * cos(alpha)
a² = ((a√3)/2)² + ((a√3)/2)² - 2 * ((a√3)/2) * ((a√3)/2) * cos(alpha)
a² = (3a²/4) + (3a²/4) - 2 * (3a²/4) * cos(alpha)
a² = (6a²/4) - (6a²/4) * cos(alpha)
a² = (3a²/2) - (3a²/2) * cos(alpha)

Bagilah kedua sisi dengan a² (asumsikan a ≠ 0):
1 = 3/2 - (3/2) * cos(alpha)
1 - 3/2 = -(3/2) * cos(alpha)
-1/2 = -(3/2) * cos(alpha)

Kalikan kedua sisi dengan -2/3:
cos(alpha) = (-1/2) * (-2/3)
cos(alpha) = 1/3

Jadi, nilai cos alpha = 1/3.